专题1二次函数自身性质问题【含最值问题】
核心归纳
编写说明：将此类难题的核心要点总结，结合例题加深理解，之后练综合题目易有解题思路、
类型
核心要点
对称性
1.若抛物线上有两点的坐标分别为(x?,y),(x?,y)、则抛物线的对称轴可表示为直线x=
2.若抛物线y=ax2+bx+c上两点关于直线x=?b2a对称，则这两点的纵坐标相等.横坐标与
3.若抛物线y=ax2+bx+c与直线y=m有两个交点，则这两个交点关于直线x=?b
4.若抛物线y=ax2+bx+c上A(m,n),B两点关于直线x=?b2a对称，则AB的长为
5.抛物线y=ax2+bx+c与y=ax2?bx+c关于y轴对称；抛物线y=ax2+bx+c与y=?ax2?bx?c关于x轴对称；抛物线y=ax2+bx+c与y=?ax2+bx-c关于原点对称.
增减性
6.抛物线y=ax2+bx+ca0)上有A(x?,y?),B(x?,y?)两点，当x?x??b
7.抛物线y=ax2+bx+c(a0)上有A(x?,y?),B(x?,y?)ī两点，当x?xx?时，①如图1，当x?x??b2a时，y的最大值为y?；如图2，当?b2ax?x?时，y的最大值为y?；③如图3，当
类型
核心要点
对称性与增减性联用
8.抛物线y=ax2+bx+ca0)上有Ax?y?,Bx?y?两点，当x?xx?时，①如图4，当x?x??b2a,y的最大值为y?，y的最小值为y?；如图5，当?b2ax?x?,y的最大值为y?，y的最小值为y?；③如图6，当
9.(1)抛物线y=x2?2tx?c上有点Pmn1,QxQn2,
(2)抛物线y=?x2+2tx+c上有点.PxPn1,Qmn2,
类型突破
编写说明：每类例题由浅入深设置，先练透每个类型，再综合，难度和综合性循序渐进易练习.
类型1·对称性
例1.如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A,B(m+2,0),与y轴相交于点C，点D(m，c)在该抛物线上，则点A的坐标是
例2.|每领跑改编|已知A(2t-1,3)是抛物线y=x2?2tx+c
例3.已知竖直上抛的小球离地高度y(单位：m)是它运动时间t(单位：s)的二次函数，小军相隔1s依次竖直向上抛出两个小球，假设两个小球离手时离地高度相同，在各自抛出后1.1s时到达相同的最大离地高度，若第一个小球抛出ts时在空中与第二个小球的离地高度相同，则t=
例4.已知A(-t+2,m)是抛物线y=?2x2?4tx+c
例5.抛物线y=x2?2x?3
类型2·增减性
例6.已知二次函数y=ax2?2ax+c(a0),
【变式——趁热打铁练习透】
例6.1二次函数y=ax2+2atx+c
例7.二次函数y=?x2?2tx+2,
例8.已知二次函数y=x2?2mx+3
【变式——趁热打铁练习透】
例8.1已知二次函数y=ax2+4ax+3a
例8.2已知二次函数y=?x
类型3·对称性与增减性联用
例9.已知二次函数y=?x2+6x?5,当t≤x≤t+3时，函数的最大值为m，最小值为n.若m一
例10.已知二次函数.y=x?ax?3a(a为实数，且(
(1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标；(用含a的代数式表示)
(2)设二次函数在a?3≤x≤3a+2时的最大值为p，最小值为q，若p?q=16,求a的值.
例11.如图，在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线y=x2?2x?1交y轴于点A,点B,C在此抛物线上，其横坐标分别为m，
(1)当点B与抛物线的顶点重合时，求点C的坐标；
(2)当BC与x轴平行时，求点B与点C的纵坐标的和；
(3)设此抛物线在点B与点C之间的部分(包括点B，C)的最高点与最低点的纵坐标之差为5mm
例12.已知点(m,n)在函数y={x
例13.在平面直角坐标系中,点M(-1,2),N(1,0)在抛物线y=ax2?2alx+c上，若
例14.在平面直角坐标系中,点M(-1,m),N(2,n)在抛物线y=?x2+2tx+c上.若mnc,且点?2y
2综合提升练
1.新新考向·新定义定义：在平面直角坐标系中，若一个点的纵坐标等于它的横坐标的三倍，则称该点为“纵三倍点”.例如(1，3)、?2?6
(1)下列函数图象上只有一个“纵三倍点”的是；(填序号)
y=?2x+1;②y=21
(2)已知抛物线y=x
(3)若抛物线y=ax2+bx+3
2.新新考向·新定义若函数G在m≤x≤n(mn)上的最大值记为ymax，最小值记为ymin,且满足ymax
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