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专题1.1一元二次方程全章知识
知识点1一元二次方程的定义
一元二次方程定义：只含有2未知数，且未知数的最高次数为2的2方程叫做一元二次方程．
判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准：
①2方程．
②方程中只含有2未知数．
③化简后方程中未知数的最高次数是2．
④二次项的系数2
【典例1】（2024春?莱山区校级月考）下面关于x的方程中：15(1?x)=0，4x2π?3=0，x
A．2 B．3 C．4 D．5
【典例2】（2023秋?威县校级期末）如果方程(p?3)xp2?7?x+3=0
A．2 B．﹣3 C．3 D．±3
【典例3】（2023秋?邹平市期末）已知关于x的方程（a﹣3）x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是（）
A．﹣1 B．2 C．﹣1或3 D．3
知识点2一元二次方程的一般形式
一元二次方程的一般形式：．
其中2为二次项，其系数为2；2为一次项，其系数为2；2为常数项．
【注】1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形．
2．一般形式中，、可以是任意实数，而二次项系数，若，方程就不是一元二次方程了，
也未必是一次方程，要对进行讨论．
3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定、、的值，不要
漏掉符号．
4．项及项的系数要区分开．
【典例1】（2024春?东营区校级月考）把一元二次方程（x+1）（1﹣x）＝2x化成一般形式后得到二次项系数是，一次项系数是，常数项是．
【典例2】（2024春?崇川区校级月考）若关于x的一元二次方程（a+2）x2﹣3ax+a2﹣4＝0的常数项为0，则a的值为．
【典例3】（2024秋?丰顺县校级月考）若关于x的一元二次方程（2a﹣4）x2+（3a+6）x+a﹣8＝0没有一次项，则a的值为．
知识点3一元二次方程的解
一元二次方程的解：使方程左右两边2的未知数的值就是这个一元二次方程的解,一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根.利用方程的根求待定系数时,只需将2代入原方程再解关于待定系数的方程.
【典例1】（2024春?大观区校级期末）已知x＝1是一元二次方程（2m+2）x2+x﹣m2＝0的一个根，则m的值为（）
A．﹣1 B．3或﹣1 C．3 D．﹣3或1
【典例2】（2024春?大观区校级期末）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（）
A．2026 B．2025 C．2023 D．2022
【典例3】（2024春?张店区校级月考）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2024，则一元二次方程a（x﹣1）2+bx﹣b+2＝0必有一根为（）
A．2022 B．2023 C．2024 D．2025
【典例4】（2024春?太湖县期末）若m是关于x的方程x2﹣2024x﹣1＝0的根，则（m2﹣2024m﹣4）（m2﹣2024m+4）的值为（）
A．﹣15 B．15 C．﹣16 D．16
知识点4解一元二次方程
1.直接开平方法：
对于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，而另一边是一个非负数，可用直接开平方法求解．
【总结】直接开平方法：形如（）的方程可用直接开平方法解，
两边直接开平方得2或2，
∴2，2．直接开平方的理论根据是平方根的定义，注意这里的条件b．若b，则方程无实数根．
2.配方法：
通过配方把一元二次方程转化成形如的方程，再运用方法求解．
【总结】用配方法解一元二次方程的一般步骤：
①移项：把一元二次方程中含有未知数的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
②“系数化”：根据等式的性质把二次项的系数化为；
③配方：将方程两边分别加上一次项系数一半的平方，把方程变形为的形式；
④求解：若时，方程的解为，若时，方程无实数解.
3.公式法：
（1）公式法的定义：解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式，当时，方程的实数根可写为的形式,这个式子叫做一元二次方程的求根公式.利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法.由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根.
（2）一元二次方程根的个数与根的判别式的关系
一般地,式子叫做方程根的判别式,通常用希腊字母△表示,即.
设一元二次方程为，其根的判别式为：，则
①方程有的实数根．
②方程有的实数