2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛
一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.方程xlog4x
2.设等差数列{an}的公差为d，S?是其前n项和.已知a2025=S
3.设z为复数，i为虚数单位.若z?1z+1的实部为0，则∣z?3?4i∣|的最大值为▲
4.2
5.在平面直角坐标系xOy中，F?，F?分别是双曲线x2a2?y2
6.在四边形ABCD中,.AB=AC=CD=1,BC=2,AD=3.沿直线AC将
7.在△ABC中,AB=5,BC=3,CA=4,点I为△ABC内心.设α,β∈R,若CI=α?CA+β?
8.甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球.甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲的概率为▲.
9.已知△ABC的面积为2,AB=2,则CBCA的范围为▲
10.如图，函数fx=e2?e+1
11.设τ(d)表示正整数d的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：1，2，3，6，则τ6=4.设fn=
f
则f(100)的值为▲.
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12.设函数f(x)定义在0+∞上，f2=0,fx≥0,，且当0≤x2时，f
二、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.设A,B,C为△ABC的三个内角，求sin2
14.如图，在圆内接四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，满足DE=BF.若∠DAE=∠CAB,求证∠DCF=∠ACB.
15.设数列an满足：
证明:当n≥2时,12n
16.有9支队伍进行单循环赛(任意两队之间进行一场比赛).在比赛了一阶段后进行统计，发现任意3支队伍之间最多进行了两场比赛，求此时这9支队伍之间的比赛总场次的最大值，并说明理由.
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2025年全国中学生数学奥林匹克竞赛江苏赛区预赛参考解析
一、填空题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.
1.方程xlog1x
解:{2,8}.
2.设等差数列{an}的公差为d，S?是其前n项和.已知(a2025=S
解:2.
3.设z为复数，i为虚数单位.若z?1z+1的实部为0，则∣z?3?4i∣的最大值为
解:6.
4.2
解：3
5.在平面直角坐标系xOy中，F?，F?分别是双曲线x2a2?y2b2=1ab
6.四边形ABCD中,AB=AC=CD=1,BC=2,AD=3.沿直线AC将△ACD折起，形成三棱锥D--ABC.已知二面角B-AC--D的大小为120°
解：1
7.△ABC中,.AB=5,BC=3,CA=4,点I为△ABC内心.设α,β∈R,若则α+β=.
解：11
8.甲有2个白球和1个黑球，乙有3个白球.甲乙两人每次交换1个球，经过四次交换后，黑球仍然在甲的概率为.
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解：41
9.已知△ABC的面积为2,AB=2,则CBCA的范围为
解：5
10.如图,函数.fx=e
解：2
11.设τ(d)表示正整数d的所有正因数的个数，例如6有4个正因数：1，2，3，6，则τ6=4.设fn=
f
则f(100)的值为.
解:36.
12.设函数f(x)定义在[0,+∞)上,.f2=0,fx≥0,,且当0≤x2时,
解:11.
二、解答题：本大题共4小题，每小题15分，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
13.设A,B,C为△ABC的三个内角,求sin2
解:由A+B+C=π知(cos2
sin
=
=
…………(5分)
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=
=--cos2(A+B)--cos(A--B)cos(A+B)+2
=?
……………(10分)
≤2+
当且仅当cosA?B=1,cosA+B=?1
…………(15分)
14.如图，在圆内接四边形ABCD中，点E，F在对角线BD上，满足DE=BF.若∠DAE=∠CAB,求证∠DCF=∠ACB.
证:由A,B,C,D共圆知∠ADE=∠ADB=∠ACB.
由已知∠DAE=∠CAB,所以△AED∽△ABC.
于是AD
…………(5分)
由已知ED=BF,所以AD
再由A,B,C,D共圆知∠DAC=∠FBC,所以△DAC∽△FBC.
…………(10分)
于是∠DCA=∠FCB.
进而∠DCA+∠ACF=∠ACF+∠FCB,即∠DCF=∠ACB.
…………(15分)
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15.设数列an满足：
证明：当