等角存在性问题
一、知识导航
除了特殊几何图形存在性问题外，相等角存在性也是今年二次函数压轴题中常见的题型，根据题目给的不同的条件，选择恰当的方式去构造相等角，是此类问题的关键．
回顾一下在几何图形中有哪些方法能得到相等角，大概如下：
（1）平行：两直线平行，同位角、内错角相等；
（2）角平分线：角平分线分的两个角相等；
（3）等腰三角形：等边对等角；
（4）全等（相似）三角形：对应角相等；
（5）三角函数：若两个角的三角函数值相等，则两角相等；
（6）圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．
也许还有，但大部分应该都在此了，同样，在抛物线背景下亦可用如下思路构造相等角．
想得到相等角，先考虑如何度量角，除了角度之外，另外的方法便是求出角的三角函数值，因此在以上6种方案当中，若无明显条件，可考虑求出角的三角函数值来构造相等角．
二、典例精析
如图，已知抛物线过点A（4，0），B（2，0），C（0，4）．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点C和点关于抛物线的对称轴对称，点P在抛物线上，且，求点P的横坐标．
【分析】
（1）抛物线：；
（2）由题意得：坐标为（2，4），
考虑到A、C、三点坐标均已知，故可求的三角函数值．
思路1：构造直角三角形
过点作⊥AC交AC于H点，不难求得H点坐标为（1，3），
故，，
∴，则．
转化“”为“”，即．
①当时，设PA解析式为，
将A（4，0）代入，得：，
联立方程：，解得：，，
故坐标为；
②当时，设PA解析式为，
将A（4，0）代入，得：，
联立方程：，解得：，，
故坐标为．
综上所述，P点坐标为或．
思路2：发现特殊角．
如图构造等腰直角三角形AMC，易解M点坐标为（4，4），
故△AMC是等腰直角三角形．∠MAC=45°，
考虑，可知，
下同思路1求解P点坐标．
三、中考真题演练
1．（2023·湖南常德·中考真题）如图，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C，顶点为D．O为坐标原点，．
??
(1)求二次函数的表达式；
(3)P是抛物线上的一点，且在第一象限内，若，求P点的坐标．
【分析】（1）用两点式设出二次函数的解析式，然后求得C点的坐标，并将其代入二次函数的解析式，求得a的值，再将a代入解析式中即可．
（3）根据各点的坐标的关系及同角三角函数相等的结论可以求得相关联的函数解析式，最后联立一次函数与二次函数的解析式，求得点P的坐标．
【详解】（1）∵二次函数的图象与轴交于两点．
∴设二次函数的表达式为
∵，
∴，即的坐标为
则，得
∴二次函数的表达式为；
（3）如图，是抛物线上的一点，且在第一象限，当时，
连接，过作交于，过作于，
??
∵，则为等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐标为
所以过的直线的解析式为
令
解得，或
所以直线与抛物线的两个交点为
即所求的坐标为
【点睛】本题考查了一次函数、二次函数的性质以及与坐标系几何图形的综合证明计算问题，解题的关键是将所学的知识灵活运用．
2．（2023·湖北十堰·中考真题）已知抛物线过点和点，与轴交于点．
??
(1)求抛物线的解析式；
(3)如图2，点是抛物线上对称轴右侧的点，是轴正半轴上的动点，若线段上存在点（与点不重合），使得，求的取值范围．
【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解；
（3）根据三角形外角的性质，结合已知条件得出，证明，则，设交轴于点，过点作轴于点，求得直线的解析式为，联立，得出，勾股定理求得的长，根据相似三角形的性质得出关于的二次函数关系式，进而根据二次函数的性质求得最值，即可求解．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和点，
∴
解得：
∴抛物线解析式为；
（3）∵，
又，
∴，
∴，
∴，
设交轴于点，过点作轴于点，
??
∵，
∴，
∵，
∴，
设，则，
在中，，
∴，
解得：，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
联立，
解得：或，
∴，
∴，
∵，
设，则，
∴，
整理得：，
∵在线段上（与点不重合），
∴,
∴，
∴当时，取得的最大值为，
∴．
【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，面积问题，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
3．（2023·湖南岳阳·中考真题）已知抛物线与轴交于两点，交轴于点．
??
(1)请求出抛物线的表达式．
(3)如图2，将抛物线向右平移2个单位，得到抛物线，抛物线的顶点为，与轴正半轴交于点，抛物线上是否存在点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把代入，求出即可；
（3）先求得抛物线的解析式为，得出，，运用待定系数法可得直线的解析式为，过点作轴于点，连接，设交直线于或，如图2，过点作轴交于点，