湘教版2019高一数学（选修一）第三章圆锥曲线与方程第1课时椭圆的几何性质3.1.2椭圆的简单几何性质

目录/CONTENTS新知探究情景导入学习目标课堂小结随堂检测错因分析

学习目标1.理解并掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率等性质（重点）2.椭圆的离心率几何意义的导入、理解及求法（难点）3.直线与椭圆位置关系（重点、难点）

地球围绕太阳公转的轨道是一个椭圆,太阳处在这个椭圆的一个焦点上.在椭圆轨道上有一个近日点和一个远日点,在近日点时地球距离太阳14710万千米,在远日点时地球距离太阳15210万千米.事实上,很多天体或飞行器的运行轨道都是椭圆.如“神舟九号”飞船,于2012年6月16日搭载3名航天员发射升空,之后进入近地点高度200千米、远地点高度329.8千米的椭圆形轨道,然后进行了5次变轨,两天后与“天宫一号”空间实验器自动交会对接成功,这是中国首次实现载人空间交会对接任务.情景导入

观察椭圆的图象并思考下列问题：1．范围：图象分布范围是否有限？如果有限，最左、最右、最低、最高分别到什么位置？找出最左、最右、最低、最高的点．2．对称性：图象是不是中心对称图形？如果是，找出对称中心．图象是不是轴对称图形？如果是，找出对称轴．3．通过观察，图象还有没有其他的性质？如果有，试作出说明．4．试根据方程解释你所观察到的现象．下面，我们通过对椭圆标准方程的研究，来认识椭圆的一些简单几何性质．新知探究

这说明椭圆位于四条直线x=－a，x=a，y=－b，y=b所围成的矩形内．同理可知，椭圆位于四条直线x=±b，y=±a，所围成的矩形内．由椭圆的标准方程可知，椭圆上任意一点的坐标(x，y)都适合不等式：1.椭圆的范围

平面上任一点(x，y)关于x轴的对称点是(x，－y)．在椭圆的标准方程中，将(x，y)换成(x，－y)，方程不变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于x轴的对称点P1(x，－y)也在椭圆上，因此椭圆关于x轴对称．平面上任一点(x，y)关于y轴的对称点是(－x，y)．在椭圆的标准方程中，将(x，y)换成(－x，y)，方程不变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于y轴的对称点P2(－x，y)也在椭圆上，因此椭圆关于y轴对称．椭圆的标准方程是以两个焦点所连线段的中点为原点、以两焦点连线为x轴或y轴得到的．因此，平面上任意一个椭圆都是轴对称图形，两焦点连线是它的对称轴，两焦点所连线段的垂直平分线也是它的对称轴．2.椭圆的对称性——对称轴

平面上任一点(x，y)关于原点的对称点是(－x，－y)．在椭圆的标准方程中，将(x，y)换成(－x，－y)，方程不变，这说明当点P(x，y)在椭圆上时，它关于原点的对称点P3(－x，－y)也在椭圆上．由此可见，椭圆关于原点中心对称，坐标原点叫作椭圆的对称中心．对于平面上任意一个椭圆，它的两个焦点所连线段的中点是椭圆的对称中心，简称为椭圆的中心．对于标准方程的椭圆关于两坐标轴对称也关于原点对称．2.椭圆的对称性——对称中心

椭圆的两条对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点．在椭圆的标准方程中，令y=0，得x=±a；令x=0，得y=±b．因此A1(－a，0)，A2(a，0)，B1(0，－b)，B2(0，b)是椭圆的四个顶点，它们分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．椭圆的中心O分别将长轴、短轴等分，a和b分别叫作长半轴长和短半轴长．3.椭圆的顶点

在椭圆的标准方程中，令y=0，得x=±b；令x=0，得y=±a．因此B1(－b，0)，B2(b，0)，A1(0，－a)，A2(0，a)是椭圆的四个顶点，它们分别是椭圆最左、最右、最低、最高的点．线段A1A2，B1B2分别叫作椭圆的长轴和短轴，它们的长分别为2a和2b．椭圆的中心O分别将长轴、短轴等分，a和b分别叫作长半轴长和短半轴长．3.椭圆的顶点

回顾一下我们用细绳画椭圆的过程，若细绳的长度不变，改变焦点F1，F2的