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福建省福州市福州恒一高级中学等校2025届高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设集合，则中元素的个数为（????）
A．4 B．5 C．6 D．7
2．已知复数满足，则复数的共轭复数的虚部是（????）
A． B． C． D．
3．已知向量，，若，则（???）
A． B． C． D．2
4．已知，，则（???）
A．3 B．2 C． D．
5．如图，双头陀螺可以看作是两个底面积相同的圆锥底面重合后拼接而成的，其中圆锥的底面圆心为，两个顶点之间的距离是圆锥底面半径的倍，圆锥的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆锥与圆锥的体积比为（????）
A．2 B．3 C．4 D．8
6．若函数在上单调递增，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
7．函数与函数的图象交点个数为（????）
A．3 B．5 C．6 D．7
8．已知函数的定义域为为奇函数，，则（????）
A．为奇函数
B．的图象关于直线对称
C．的最小正周期为4
D．的图象关于点对称
二、多选题
9．为了解目前宜兴市高二学生身体素质状况，对某校高二学生进行了体能抽测，得到学生的体育成绩，其中60分及以上为及格，90分及以上为优秀则下列说法正确的是（????）
参考数据：随机变量，则，，．
A．该校学生体育成绩的方差为10
B．该校学生体育成绩的期望为70
C．该校学生体育成绩的及格率不到
D．该校学生体育成绩不及格的人数和优秀的人数相当
10．已知.不等式的解集为且，则下列说法中正确的是（????）
A．函数的极大值点为1
B．函数的对称中心为
C．当时，
D．过点且与曲线相切的直线有2条
11．如图，曲线是一条双纽线，曲线上的点满足：到点与的距离之积为，已知点是双纽线上一点，则下列结论正确的是（???）.
A．点在曲线上
B．双纽线的方程为
C．
D．点在椭圆上，若，则
三、填空题
12．曲线在处的切线方程为.
13．已知为双曲线的右焦点，为的右顶点，为上的点且在第一象限，且垂直于轴.若的离心率为2，则的斜率为.
14．甲乙丙丁四人打循环赛，每两人之间都有一场比赛．已知乙丙丁三人胜率完全相同，而甲水平较高，面对三人时的胜率均为，每场比赛胜者得一分，败者得零分，总分最高或同为最高者并列冠军．问：甲拿到冠军的概率是．
四、解答题
15．的内角的对边分别为，已知.
(1)求的值；
(2)若的面积为，求的周长.
16．已知数列满足，．
(1)求证：是等差数列，并求的通项公式；
(2)记，求．
17．如图，直四棱柱的底面是菱形，为锐角，分别为棱的中点，点在棱上，且，点在直线上.
(1)证明：平面；
(2)若直四棱柱的体积为，当直线与平面所成角的正弦值最大时，求的长.
18．函数．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，恒成立，求的取值范围；
(3)证明：当时，．
19．已知上下顶点分别为的椭圆经过点为直线上的动点，且不在椭圆上，与椭圆的另一交点为与椭圆的另一交点为（均不与椭圆上下顶点重合）.
(1)求椭圆的方程；
(2)证明：直线过定点；
(3)设（2）问中定点为，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，记，，的面积分别为，，，试问：是否存在常数，使得，，总为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
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《福建省福州市福州恒一高级中学等校2025届高三下学期第三次高考模拟考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
D
B
B
C
A
B
D
BC
BCD
题号
11
答案
AD
1．B
【分析】首先求集合，再求，即可求解元素个数.
【详解】，，
依题意可得，则中元素的个数为5.
故选：B
2．D
【分析】根据复数的除法运算化简复数，再得共轭复数，即可得其虚部.
【详解】复数满足，
则，
所以，故复数的共轭复数的虚部是.
故选：D.
3．B
【分析】首先求出、的坐标，再根据向量平行的坐标表示得到方程，解得即可.
【详解】因为，，所以，，
又，所以，解得.
故选：B
4．B
【分析】先展开与，再通过加减运算求出与的值，最后代入的转化式计算.
【详解】由得；
由得.
两式相加：，即.
两式相减