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广东省中山市第一中学2025届高三高考冲刺模拟考（5月第一次测试）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，若，且，则集合可以为（????）
A． B． C． D．
2．已知非零向量满足，，若为在上的投影向量，则向量夹角的余弦值为（）
A． B． C． D．
3．某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：
??
等级
24h降雨量（精确到0.1）
……
……
小雨
0.1~9.9
中雨
10.0~24.9
大雨
25.0~49.9
暴雨
50.0~99.9
……
……
在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是
A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨
4．甲、乙两名大学生利用假期时间参加社会实践活动，可以从，，，四个社区中随机选择一个社区，设事件为“甲和乙至少一人选择了社区”，事件为“甲和乙选择的社区不相同”，则（????）
A． B． C． D．
5．若数列的前项和，则数列的前项和（????）
A． B． C． D．
6．已知函数，若，是锐角的两个内角，则下列结论一定正确的是（????）
A． B．
C． D．
7．过双曲线的右支上一点，分别向和作切线，切点分别为，则的最小值为（????）
A．28 B．29 C．30 D．32
8．设，，，则（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．有一组互不相等的样本数据，平均数为.若随机剔除其中一个数据，得到一组新数据，记为，平均数为，则（????）
A．新数据的极差可能等于原数据的极差
B．新数据的中位数不可能等于原数据的中位数
C．若，则新数据的方差一定大于原数据方差
D．若，则新数据的40%分位数一定大于原数据的40%分位数
10．已知复数，在复平面上对应的点分别为A，B，且O为复平面原点若．（i为虚数单位），向量绕原点逆时针方向旋转90°，且模伸长为原来的2倍后与向量重合，则（????）
A．的虚部为 B．点B在第二象限
C． D．
11．已知函数，的定义域为，为的导函数，且，，若为偶函数，则下列一定成立的有（????）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．已知椭圆短轴长为4，焦距为，分别是椭圆的左、右焦点，若点为上的任意一点，的最小值为.
13．用1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中满足的五位数有n个，则在的展开式中，的系数是（用数字作答）
14．，，，四点均在同一球面上，，是边长为的等边三角形，则面积的最大值为，四面体体积最大时球的表面积为．
四、解答题
15．已知函数．
(1)当时，求函数在上的值域；
(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，若的最小正周期是，，，，求的面积．
16．已知函数.
(1)当时，求的单调区间；
(2)对，恒成立，求a的取值范围.
17．寒假期间小明每天坚持在“跑步3000米”和“跳绳2000个”中选择一项进行锻炼，在不下雪的时候，他跑步的概率为，跳绳的概率为，在下雪天，他跑步的概率为，跳绳的概率为．若前一天不下雪，则第二天下雪的概率为，若前一天下雪，则第二天仍下雪的概率为．已知寒假第一天不下雪，跑步3000米大约消耗能量330卡路里，跳绳2000个大约消耗能量220卡路里．记寒假第天不下雪的概率为．
(1)求，，的值，并证明是等比数列；
(2)求小明寒假第天通过运动锻炼消耗能量的期望．
18．悬链线的原理运用于悬索桥、架空电缆、双曲拱桥、拱坝等工程．通过适当建立坐标系，悬链线可为双曲余弦函数的图象，类比三角函数的三种性质：①平方关系：①，②和角公式：，③导数：定义双曲正弦函数．
(1)直接写出具有的类似①、②、③的三种性质（不需要证明）：
(2)若当时，恒成立，求实数a的取值范围：
(3)求的最小值．
19．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为经过点且倾斜角为的直线l与椭圆交于A，B两点（其中点A在x轴上方），且的周长为8．将平面沿x轴向上折叠，使二面角为直二面角，如图所示，折叠后A，B在新图形中对应点记为，．
??
(1)当时，
①求证：；
②求平面和平面所成角的余弦值；
(2)是否存在，使得折叠