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河南省TOP二十名校2025届高三猜题大联考数学试题数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（???）
A． B． C． D．
2．已知平面向量，，则（???）
A． B． C． D．
3．设甲：；乙：，则甲是乙的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．若把满足的正整数组称为“勾股平方数组”，则在不大于13的正整数中随机选取3个不同的数，能组成“勾股平方数组”的概率为（???）
A． B． C． D．
5．棱长均为2的正三棱柱的各个顶点都在球的球面上，则球的体积为（???）
A． B． C． D．
6．已知首项为的等比数列的前项和为，若也为等比数列，则的公比为（???）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知，，则（???）
A．3 B．2 C．-2 D．-3
8．过双曲线右支上的点作的切线l，，分别为的左、右焦点，为切线上的一点，且（O为坐标原点）.若，则（???）
A． B．2 C．3 D．4
二、多选题
9．记为首项为2的数列的前项和，已知，则（???）
A． B．
C． D．
10．已知关于复数的方程组有且仅有一个复数解，则的值可能是（???）
A． B． C． D．
11．已知函数，，则（???）
A．与的值域相同
B．与的值域相同
C．
D．
三、填空题
12．已知椭圆的左顶点与上顶点之间的距离为焦距的倍，则的离心率为.
13．曲线的对称中心为．
14．现有各项均为正整数的递增数列2，3，4，，，20，30，40，若从中任取4项构成的递增数列都不是等差数列，则有序数对的个数为.
四、解答题
15．设抛物线的焦点为，过的直线与交于A，B两点.
(1)求的准线方程；
(2)设为准线上一点，且，求.
16．记的内角的对边分别为，已知.
(1)证明：；
(2)若边上的中线长为，求的最大值.
17．如图，四棱锥中，，，且.
(1)当平面平面时，证明：平面平面；
(2)若，求平面与平面的夹角的余弦值.
18．已知平面内有n个红点、n个蓝点、n个黄点（），这3n个点中任意两点都不重合.
(1)在颜色不同的任意两点之间连接一条线段，颜色相同的两点之间不连接线段，直接写出连接线段条数的最大值；
(2)若3n个点中任意三点都不共线，在所有互异的点之间连线，端点颜色相同的线段赋值1，端点颜色不同的线段赋值2.
（ⅰ）记每条线段的赋值为随机变量X，在所有线段中任取一条线段，按两个端点的颜色进行分类（端点无序），求X的分布列及数学期望；
（ⅱ）从3n个点中任取三个点构成三角形，记构成的三角形三边的赋值之和的数学期望为，证明：.
19．若两个集合M，N满足：，，且，，则称M，N互为对偶集．已知函数，定义，．
(1)若，，，证明：；
(2)证明：存在，使得无论t取何值，与均互为对偶集；
(3)若，求b的取值范围．
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《河南省TOP二十名校2025届高三猜题大联考数学试题数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
D
B
D
B
C
B
AC
AC
题号
11
答案
ABD
1．C
【分析】先化简集合再根据交集运算求解即可.
【详解】因为，故.
故选：C.
2．A
【分析】利用向量的夹角公式，即可求解.
【详解】由题意可得.
故选：A.
3．D
【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和必要条件的定义求解.
【详解】由可得，由可得，
所以由推不出，即充分性不成立；
由也推不出，即必要性不成立.
所以甲是乙的既不充分也不必要条件.
故选:D.
4．B
【分析】根据组合数求解总数，即可列举所有符合条件的事件，即可由古典概型的概率公式求解.
【详解】由题意可知基本事件的总数为，
能组成“勾股平方数组”的有,,，共3个，
故所求概率为.
故选:B.
5．D
【分析】设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，根据正弦定理和球的截面的性质，分别求得和的值，结合球的体积公式，即可求解.
【详解】如图所示，因为正三棱柱的底面是边长为的等边三角形，
设的外接圆的半径为，正三棱柱的外接球的半径为，
可得，则，
所以正三棱柱外