第PAGE1页
第五章平面向量与复数
5.1平面向量的概念及线性运算
课程标准有的放矢
1.通过对力、速度、位移等的分析，了解平面向量的实际背景，理解平面向量的意义和两个向量相等的含义.
2.理解平面向量的几何表示和基本要素.
3.借助实例和平面向量的几何表示，掌握平面向量加、减运算及运算规则，理解其几何意义.
4.通过实例分析，掌握平面向量的数乘运算及运算规则，理解其几何意义.理解两个平面向量共线的含义.
5.了解平面向量的线性运算性质及其几何意义.
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.向量的有关概念
名称
定义
说明
向量
既有大小又有方向的量叫做向量
平面向量是自由向量
有向线段
具有方向的线段叫做有向线段，向量可以用有向线段表示，也可用字母a,b,c，?表示
有向线段包含三个要素：起点、方向、长度
向量的模
向量AB的大小称为向量AB的长度（或称模），记作|AB
向量的模是数量
零向量
长度为0的向量叫做零向量，记作0
—
单位向量
长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量
a是非零向量，则±a
平行向量（共线向量）
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量也叫做共线向量
规定：零向量与任意向量平行
相等向量
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量
两向量可以相等也可以不相等，但不能比较大小
相反向量
与向量a长度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作?
0的相反向量仍是0
2.向量的线性运算
运算
定义
法则（或几何意义）
运算律（性质）
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
交换律：a+b=b+a.并规定：a+0=0+
减法
求两个向量差的运算
a?
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
λa是一个向量，其长度：|λ
其方向：当λ0时，与a的方向相同；当λ0时，与a的方向相反
设λ，μ∈R，则λ(μa)=μ
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数
常用结论
1.加法运算的推广
（1）加法运算的推广：A1
（2）向量三角不等式：||a
2.线性运算重要结论
（1）若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则OP=
（2）若G为△ABC的重心,则GA
（3）若OA=λOB+μOC（λ，μ为实数），则点A，
（4）如图,在△ABC中,BD=m,CD=n,则AD=nm+
（5）如图，已知P为△ABC内一点，则有S
自主评价牛刀小试
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1）相等向量的起点和终点分别相同.（）
（2）|a|与|b|是否相等与
（3）零向量与任一向量平行.（）
（4）若向量AB与向量CD是共线向量，则A，B，C，D四点共线.（）
（5）当两个向量a，b共线时，一定有b=
【答案】（1）×
（2）√
（3）√
（4）×
（5）×
2．（教材题改编）下列四个等式中，不正确的是（）
A.a+b=
C.AB?AC+
【答案】D
【解】由向量的加法交换律及相反向量,知a+b=b+a
a?2b+2(
AB?AC+BD?CD
AB?(BC+CA)=AB?BA=2
3．【多选题】（教材题改编）对于向量a,b有下列表示，其中向量a,b一定共线的有（）
A.a=2e,b=?2
C.a=4e1?25
【答案】ABC
【解】易知A，B，C符合题意.
对于D，若a=λb，e1,e2不共线，则1=2λ,1
4．[2022年新课标Ⅰ卷]在△ABC中，点D在边AB上，BD=2DA.记CA=m
A.3m?2n B.?2m
【答案】B
【解】如图，因为CD=CA+AD=CA+12DB=
核心考点精准突破
考点一平面向量的基本概念
例1【多选题】如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则（）
A.AB=OC
C.|AD|=|BE
【答案】ABC
【解】由正六边形的结构特征，知AB与OC方向相同，长度相等，所以AB=OC，故A
AB与DE方向相反，所以AB//DE，故B
由正六边形的性质，知|AD|=|BE|，故
AD与FC不共线，故D错误.故选ABC.
【点拨】解决向量有关的概念问题，一是要紧扣大小和方向这两个关键要素，二是要注意零向量的特殊性.
变式1．
（1）下列命题正确的是（）
A.任一向量与它的相反向量都不相等
B.长度相等、方向相同的两个向量是相等向量
C.平行且模相等的两个向量是相等向量
D.若a≠b
（2）【多选题】如图所示，每个小方格的边长都是1，则（）
A.|CH|=|DG
C.向量DG,HF共线 D.|
【答案】（1）B
（2）BC
【解析】
（1）【解】零向量与它的相反向量相等，故A错误.由相等向量的定义，知B正确