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第四章三角函数与解三角形
4.1任意角、弧度制及三角函数的概念
课程标准有的放矢
1.了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性.
2.借助单位圆理解三角函数（正弦、余弦、正切）的定义.
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.任意角
（1）正角、负角、零角:一条射线绕其端点按逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角.如果一条射线没有做任何旋转，就称它形成了一个零角.任意角包括正角、负角和零角.
（2）象限角:在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角.如果角的终边在坐标轴上，那么就认为这个角不属于任何一个象限（常称为轴线角）.
（3）终边相同的角:所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S={β|
2.弧度制
（1）角度制：用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制.
（2）弧度制：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度.一般地，正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0.
（3）单位圆：我们把半径为1的圆叫做单位圆.
（4）角度和弧度的换算.
（5）扇形弧长、面积公式.半径为R的圆中，圆心角为αrad的角所对的弧长公式：l=|α|R，圆心角为αrad的扇形的面积公式：S=
3.三角函数的概念
（1）定义:设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，则sinα=y,
（2）三角函数的定义域和函数值在各象限的符号.
三角函数
定义域（弧度制下）
第一象限符号
第二象限符号
第三象限符号
第四象限符号
sinα
R
+
+
-
-
cosα
R
+
-
-
+
tanα
{α|
+
-
+
-
常用结论
1.角的集合
（1）象限角的集合.
象限角
角的集合表示
第一象限角
{x|
第二象限角
{x|
第三象限角
{x|
第四象限角
{x|
（2）非象限角（轴线角）的集合.
角α终边的位置
角α的集合表示
在x轴的非负半轴上
{α|
在x轴的非正半轴上
{α|
在y轴的非负半轴上
{α|
在y轴的非正半轴上
{α|
在x轴上
{α|
在y轴上
{α|
在坐标轴上
{α|
2.sin15°=6-24
3.当0απ2时,
自主评价牛刀小试
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.
（1）锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.（）
（2）角α的三角函数值不会随其终边上点P的位置改变而改变.（）
（3）终边落在直线y=3x上的角可以表示为60°+k?
（4）若α为第二象限角，则sinαtanα
（5）α=2kπ+30°
【答案】（1）×
（2）√
（3）×
（4）√
（5）×
2．2026°角的终边所在的象限是（
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【答案】C
【解】2026°=360°×5+180°+46
3．已知扇形的圆心角为2rad，弧长为8m，则该扇形的面积为（
A.8m2 B.12m2
【答案】C
【解】由题意，得扇形的半径r=82=4m，所以该扇形的面积
4．已知角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，M(x,1)是角α终边上一点.若sinα=13，则x=___
【答案】±2
【解】由sinα=13，得1x2+1
核心考点精准突破
考点一象限角与终边相同的角
例1
（1）【多选题】下列给出的角中，与-113π
A.π3 B.13π3 C.
（2）【多选题】若α是第二象限角，则（）
A.-α
B.α2是第一象限象
C.3π2
D.2α是第三象限角或第四象限角或终边在y轴非正半轴上的角
（3）如图所示，终边在阴影区域内（含边界）的角的集合为____________________________________________．
【答案】（1）ABD
（2）BD
（3）{α|45
【解析】
（1）【解】与-113π终边相同的角为-113π+2kπ=π3+2(k-2
（2）【解】因为α是第二象限角，所以π2+2kπαπ+2kπ，k∈Z．对于A，-π-2kπ-α-π2-2kπ，k∈Z，所以-α是第三象限角，故A错误.对于B，π4+kπα2π2+kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．故B正确.对于C，2(k+1
（3）【解】终边在直线OM上的角的集合为{α|α=45°+n?180°，n∈Z}．终边在直线ON上的角的集合为{α|α=60°
【点