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第十章计数原理与概率
10.1两个计数原理、排列与组合
课程标准有的放矢
1.通过实例,了解分类加法计数原理、分步乘法计数原理及其意义.
2.通过实例，理解排列、组合的概念；能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.分类加法计数原理与分步乘法计数原理
（1）分类加法计数原理.
①定义：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m+n
②拓展：完成一件事，如果有n类方案,且：第1类方案中有m1种不同的方法，第2类方案中有m2种不同的方法,?,第n类方案中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=
（2）分步乘法计数原理.
①定义：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法,那么完成这件事共有N=m×n
②拓展：完成一件事，如果需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法,?,做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=
2.排列与组合
（1）排列：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从
（2）排列数.
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数,叫做从n个不同元素中取出
全排列的概念
n个不同的元素全部取出的一个排列
阶乘的概念
正整数1到n的连乘积，用n！表示.A
排列数公式
(n
Anm=
阶乘式An
（3）组合：一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素作为一组，叫做从n
（4）组合数.
定义及表示
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m
组合数公式
乘积式
Cnm=
阶乘式
Cnm=
两个性质
性质1
Cnm=
性质2
Cn+1
常用结论
1.解排列组合问题基本策略
（1）相邻问题捆绑策略,不相邻问题插空策略.
（2）多排问题单排策略,定位问题优先策略.
（3）定序问题消序策略,有序分配分步策略.
（4）多元问题分类策略,交叉问题集合策略.
（5）至少（至多）问题间接策略,选排问题先取后排.
2.重要恒等式
（1）An
（2）(n
（3）kC
（4）Cn
自主评价牛刀小试
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事.（）
（2）在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事.（）
（3）所有元素完全相同的两个排列为相同排列.（）
（4）若Cnx=Cnm,
（5）Anm=n
【答案】（1）√
（2）×
（3）×
（4）×
（5）×
2．某校在艺术节期间需要举办一场文娱演出晚会，现要从3名教师、4名男学生和5名女学生中选出若干人来主持这场晚会（任一人都可主持）.若需要教师、学生各一人共同主持，则不同的选法有（）
A.12种 B.15种 C.27种 D.30种
【答案】C
【解】先选出一名教师，有3种选法；再选出一名学生，有4+5=9（种）选法.所以共有3×9=27（
3．【多选题】已知n，m为正整数，且n≥m，则（
A.A63
C.Cnm
【答案】ABD
【解】对于A，A63=6×5
对于B，因为C127=A127A77
对于C，因为Cnm+Cnm-1=
对于D，Cnm=Cnn-m，故
4．（教材题改编）用数字1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，其中比4000大的偶数共有个.
【答案】18
【解】由题意，知符合条件的四位数的首位数字为4，5其中一个，末位数字为2，4其中一个.
①当首位数字为5时，末位数字有2种情况，在剩余的3个数中任取2个，放在剩余的2个位置上，有3×2=6（种）情况，此时有2
②当首位数字为4时，末位数字有1种情况，在剩余的3个数中任取2个，放在剩余的2个位置上，有3×2=6（种）情况，此时有1
综上，共有12+6=18（个
核心考点精准突破
考点一分类加法计数原理与分步乘法计数原理
例1
（1）满足a，b∈{-1，0，1，2}，且关于x的方程ax
（2）某旅游景区有如图所示的A至F共6个停车位，现有2辆不同的白色车和2辆不同的黑色车，要求相同颜色的车不停在同一行也不停在同一列，则不同的停车方法有（）
A
B
C
D
E
F
A.48种 B.72种 C.96种 D.192种
【点拨】解答计数应用问题的总体思路是先分类再分步,注意以下计数方法的应用.①枚举法,将各种情况一一列举出来.②转换法,转换问题的角度或转换成其他已知问题.③间接法,先计算其反面情形，再用总数减去即可.