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第七章立体几何
7.1基本立体图形、简单几何体的表面积与体积
课程标准有的放矢
1.利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.
2.知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题.
3.能用斜二测法画出简单空间图形（长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合）的直观图.
必备知识温故知新
【教材梳理】
1.棱柱、棱锥、棱台的结构特征
类别
棱柱
棱锥
棱台
图形
结构特征
底面互相平行且全等；侧面都是平行四边形；侧棱都相等且互相平行
底面是一个多边形；侧面都是三角形；侧面有一个公共顶点
上、下底面互相平行且相似；各侧棱延长线交于一点；各侧面为梯形
2.圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
类别
圆柱
圆锥
圆台
球
图形
结构特征
母线互相平行且相等，并垂直于底面;轴截面是全等的矩形;侧面展开图是矩形
母线相交于一点;轴截面是全等的等腰三角形;侧面展开图是扇形
母线延长线交于一点;轴截面是全等的等腰梯形;侧面展开图是扇环
截面是圆面
3.立体图形的直观图
（1）概念：直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形，立体几何中通常是在平行投影下得到的平面图形.
（2）斜二测画法画水平放置的平面图形直观图的步骤.
①在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x轴和y轴，两轴相交于点O，且使∠xO
②已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴或y
③已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半.
画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变.
4.简单几何体的表面积与体积
（1）圆柱、圆锥、圆台的侧面积.
类别
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧=
S圆锥侧=
S圆台侧=
其中r，r为底面半径，l为母线长
（2）柱、锥、台、球的表面积和体积.
几何体
表面积
体积（S是底面积，h是高）
柱体
S表面积=S
V=S
锥体
S表面积=S侧
V=1
台体
S表面积
V=13（S
球（R是半径）
S=4
V=4
常用结论
1.常见四棱柱及其关系
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积是原图形面积的24倍，即S
自主评价牛刀小试
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”.
（1）圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是矩形、扇形、扇环.（）
（2）有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.（）
（3）所有侧面都是全等矩形的四棱柱一定是正四棱柱.（）
（4）用斜二测画法画平面图形的直观图时，原图形面积S与其直观图面积S的关系为S=24
（5）圆锥的体积等于底面积与高之积.（）
【答案】（1）×
（2）×
（3）×
（4）√
（5）×
2．如图所示，圆柱的底面周长为10cm，高为12cm，BC为圆柱上底面的直径.如果一只蚂蚁沿着圆柱的侧面从下底面点A处爬到上底面点B处，那么它爬行的最短路程为（
A.10cm B.11cm C.13
【答案】C
【解】如图.把圆柱的侧面沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B，则蚂蚁爬行的最短路程为线段AB.由题意，知AC=12，CB=5.在Rt△ACB中，AB
3．已知一个正四棱台的上、下底面边长分别为1，3，高为3，则棱台的体积为（）
A.13113 B.4
【答案】C
【解】V=13×3
4．[2021年全国甲卷]已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π,则该圆锥的侧面积为______
【答案】39π
【解】因为V=13π×6
所以l=
所以S侧=πrl=π×6
核心考点精准突破
考点一基本立体图形及直观图
例1
（1）下列命题中正确的是（）
A.棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
B.在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱
C.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
D.棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等
（2）如图所示，矩形OABC
A.面积为62的矩形 B.面积为3
C.面积为62的菱形 D.面积为3
【点拨】紧扣定义和结构特征判断相关命题.要善于举反例否定错误命题.
【答案】（1）B
（2）C
【解析】
（1）【解】根据棱柱的定义，棱柱的各个侧面都是平行四边形，但不一定全等，故A错误.由线面平行的性质定理,知两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱，且垂直于底面，故