哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
摘要
本文研究一种求解含时空混合导数发展方程的局部间断Galerkin方法。本文
所研究的含有时空混合导数的发展方程为Degasperis-Procesi方程，这是一种非
线性的色散偏微分方程，对其进行数值求解的关键一步在于将时空混合导数进
行分离，并且该方程有着独特的尖峰解和不连续的激波解，也给数值求解带来
困难。
本文所使用的数值方法为局部间断Galerkin方法，该方法是间断Galerkin方
法的扩展。通过引入辅助变量，将高阶方程改写为等价的一阶偏微分方程组，
然后再使用间断Galerkin方法的思想进行空间离散，在时间上采用三阶Runge-
Kutta法进行离散。这种对各阶导数进行分离的思想，与Degasperis-Procesi方程
含有时空混合导数项的特点完美契合，并且间断Galerkin方法选取基函数允许在
单元边界上不连续，因此可以很好的模拟解突变和不连续的情况。
受Degasperis-Procesi方程本身形式的启发，用两种方法对其时空混合导数
进行分离，提出了两种局部间断Galerkin格式，证明了两种数值格式的能量稳定
性以及数值解的2稳定性，并且证明了0元情况下的全变差有界性。用两种局
LP
部间断Galerkin格式对Degasperis-Procesi方程不同类型的解进行数值模拟，说明
了该方法可以达到k?1阶收敛，证明了两种LDG格式的有效性。
该研究对于开发解决非线性偏微分方程的数值方法具有重要意义，可应用
于许多领域，包括流体动力学、凝聚态物理和电磁学。
关键词：发展方程；Degasperis-Procesi方程；局部间断Galerkin方法；间断Galerkin
方法
-I-
哈尔滨工业大学理学硕士学位论文
Abstract
ThisthesisinvestigatesalocaldiscontinuousGalerkinmethodforsolving
evolutionequationswithtime-spacemixedderivatives.Theevolutionequation
containingtime-spacemixedderivativesstudiedinthisthesisistheDegasperis-
Procesiequation,whichisanon-lineardispersivepartialdifferentialequation.The
keystepinsolvingitnumericallyistoseparatethetime-spacemixedderivatives.The
equationhasauniquepeakonsolutionandashocksolution,whichalsomakesthe
numericalsolutiondifficult.
ThenumericalmethodusedinthisthesisisthelocaldiscontinuousGalerkin
method,whichisanextensionofthediscontinuousGalerkinmethod.Byintroducing
auxiliaryvariables,thehigher-orderequationsarerewrittenasequivalentsystemsof
first-orderpartialdifferentialequations,whicharethendiscretizedinspaceu