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傅里叶级数解决热传导问题的研究
目录
TOC\o1-3\h\u24204摘要 1
132551前言 1
256961.1研究背景及研究意义 2
123291.2研究现状 2
104311.3论文研究内容 3
33562预备知识 3
40512.1热传导 3
270622.1.1热传导原理 3
86152.1.2热传导方程 4
97182.2傅里叶级数 4
240242.2.1三角级数 4
195112.2.2傅里叶级数的性质 5
209232.2.3傅里叶级数的指数形式 7
223303应用傅里叶级数解决热传导问题 8
114653.1利用傅里叶级数法求解矩形棱柱的热传导方程 8
167453.2利用傅里叶级数法求解立体环的热传导方程 9
115993.3利用傅里叶级数法求解实心球的热传导方程 11
284803.4利用傅里叶级数法求解实立方体的热传导方程 12
203993.5利用傅里叶级数法求解实圆柱的热传导方程 14
220234小结 18
摘要
傅里叶级数是在热力学方程的研究过程中发现的.Fourier在求解半无穷矩形薄片的热传导方程的基础上构造出了傅里叶级数.并且用傅里叶级数法求解了一些规则立体几何中的热传导方程.本论文研究了傅里叶级数在热传导问题中的一些应用,以矩形棱柱、立体环、实心球、实立方体和实圆柱为例,具体分析,从中学习和体会傅里叶级数在热传导问题中的思路和方法,感受数学的奇妙与魅力.由于国内外的学者关于傅里叶级数在热传导问题中的一些应用研究也比较完整了.所以这些研究中尚存的一些问题我只能对前人的研究结果进行一个简单的总结.
关键词:傅里叶级数;热传导;应用
1前言
如果没有数学工具的帮助,我们就无法准确地发现和理解热的作用遵循什么样的规律.FourierREF_Ref12675\w\h[1]思考发生在地球表面附近的重大现象时,联系区别和定义了决定热的行为的那一些基本性质.他由此研究了热的作用规律.他的科学成就主要在于研究了热传导问题.在物理学中,热传导方程是反映了温度在空间中如何变化的经典方程.在书中REF_Ref517\r\h[2],斯坦恩对傅里叶级数的处理时是基于Riemann可积函数.虽然有一些局限性,但是这一理论相当一部分内容包括详细的收敛性和可和性,也可以发展起来.而且它与数学领域中的热传导问题的关系也可以揭示出来.傅里叶级数现在已经可以直接应用于热传导领域,利用相关的傅里叶级数理论分析热传导问题,对数学和物理学也有一定的启示.
1.1研究背景及研究意义
Fourier从半无穷矩形薄片入手研究,相当成功地求解了其热传导问题.最重要的是从中找到了建立级数理论的思路和方法.他杰出的数学创造性让他将三角级数展开式扩展开来,从原来的无穷可微函数扩展到了“任意函数”.我们相信这是傅里叶级数理论产生的驱动力.近几十年来,傅里叶级数在很多领域都得到了应用.通过学习,我们知道热传导问题在傅里叶理论中占有重要的地位,研究傅里叶级数在热传导问题中的应用有利于加深对傅里叶级数的理解.
1.2研究现状
国内外关于傅里叶级数在热传导问题中应用的研究体系已经不断地趋于完善.1807年,Fourier提交了《关于热传导的研究报告》这一有着“里程碑”意义的论文.在这一报告中他建立了热扩散（即热传导）方程REF_Ref13139\r\h[3].傅里叶级数的应用十分广泛,在许多国内外的数学、物理和化学等领域的著作中也介绍了许多关于热传导问题的应用及其解法,还有许多学者对傅里叶理论进行了剖析和总结.
在文献中REF_Ref14373\r\h[4],贾随军在研究傅里叶级数理论的起源得到了一些结论和启发:第一,Fourier通过分析研究半无穷矩形薄片,解出了其热传导方程.第二,他在前面研究的基础上利用变量分离法给出了物体内部热传导方程的通解.第三,他结合表面情形,巧妙地利用了正弦函数的正交性,确定了通解中的系数.由此构建出了傅里叶级数.Fourier利用自己引以为豪的三角级数法求解了一些规则立体几何中的热传导方程.特别的是,在求解圆柱的热传导方程的时候,他敏锐地感觉到了物体内部热传导方程的通解有一些熟悉,后来他发现原来那就是指数函数与Bessel函数的乘积.在结合表面条件确定通解中的系数的时候,他证明了Bessel函数与正弦函数有一个一样的性质,那就是正交性.从而求解了实圆柱的