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关于可测函数结构Lusin定理第1页，共12页，星期日，2025年，2月5日可测函数简单函数是可测函数可测函数总可表示成一列简单函数的极限问：可测函数是否是连续函数？可测集E上的连续函数定为可测函数第2页，共12页，星期日，2025年，2月5日引理3.1第3页，共12页，星期日，2025年，2月5日鲁津定理设f(x)为E上几乎处处有限的可测函数，则使得m(E-F)ε且f(x)在F上连续。（去掉一小测度集，在留下的集合上成为连续函数）即：可测函数“基本上”是连续函数第4页，共12页，星期日，2025年，2月5日鲁津定理的证明1证明：由于mE[|f|=+∞]=0，故不妨令f(x)为有限函数(1)当f(x)为简单函数时，当x∈Ei时，f(x)=ci，所以f(x)在Fi上连续，而Fi为两两不交闭集，故f(x)在上连续显然F为闭集，且有第5页，共12页，星期日，2025年，2月5日鲁津定理的证明2(2)当f(x)为有界可测函数时，由定理1.5知,存在简单函数列{φn(x)}在E上收敛f(x)，利用(1)的结果知第6页，共12页，星期日，2025年，2月5日第7页，共12页，星期日，2025年，2月5日鲁津定理的证明3则g(x)为有界可测函数，应用(2)即得我们的结果（连续函数类关于四则运算封闭）(3)当f(x)为一般可测函数时，作变换第8页，共12页，星期日，2025年，2月5日证明：由条件知，，存在闭集使且f(x)在En连续，当然f(x)在En上可测，设f(x)是E上实函数，对δ0，

存在闭集，使且f(x)在上连续，

则f(x)是E上的可测函数Lusin定理的逆定理第9页，共12页，星期日，2025年，2月5日