专题2：不等式及其应用
专题综述
专题综述
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式，在高考中，基本不等式是作为求多变元的最值的工具，利用均值不等式求最值需要把握准确“一正、二定、三相等”的含义，并要掌握相应的技巧.专题探究
专题探究
题型一：配凑法
题型一：配凑法
配凑法就是将相关代数式进行适当的变形，通过添项、拆项等方法凑成和为定值或积为定值的形式，然后利用基本不等式求解最值的方法．配凑法的实质是代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键．
例1若a0，b0，c0且a(a+b+c)+bc=16，
则2a+b+cm2+2m恒成立，则实数m的取值范围是
A.(?∞,?2)∪(4,+∞) B.(?∞,?4)∪(2,+∞)
C.?2,4 D.?4,2
【思路点拨】
首先恒成立问题转化为最值问题，本题实质是求2a+b+c的最小值，表达式为“和式”结构，因此可将条件a(a+b+c)+bc=16转化为“积式”结构，也即因式分解为a+ba+c
练1(2024·湖北省黄石市·月考试卷)已知正数x，y满足x+y=1，且x2y+1+y2x+1
A.163 B.13 C.2
练2(2023·山东省济南市·月考试卷)若函数f(x)=ax2+(b?1)x+1的图象恒过定点M(1,4)，且a0，b0，当1ab+9
题型二：利用
题型二：利用常数代换法求最值
常数代换是指利用某些带有常数项的恒等式，把常量化为变量代入到所求证的式子中，并进行代数变形，进而利用均值不等式来求最值.常见的有“1”的代换.
例2若x0,y0，且1x+1+1x+2y=1，则2x+y
A.2 B.23 C.12+
【思路点拨】
通过换元x+1=a,x+2y=b将题设条件简化为1a+1b=1，然后将目标2x+y
练3(2023·山东省菏泽市·模拟题)设实数x，y满足x+y=1，y0，|x|0，则2|x|+|x|y
A.22?2 B.22+2
题型三：化
题型三：化单变量
利用条件将其中一个变量用另一个变量表示，将多变量的问题转化为单变量的问题，再利用均值不等式求解，也可以通过齐次化转化，利用比值换元转化为单变量问题.
例3已知正数a，b满足1a+1b=2，则3b+1
【思路点拨】
先根据1a+1b=2得到b=a2a?1
练4(2024·江苏省无锡市模拟)若对任意实数x0，y0，不等式x+xy≤ax+y恒成立，则实数a的最小值为(????)
2?12 B.2?1 C.2
题型四：多次
题型四：多次使用基本不等式
连续使用均值不等式的关键在于取等条件是否成立，可以根据变量的个数以及方程的个数来确定可使用均值不等式的次数，或者需要保证所用均值不等式等号成立的条件不冲突.
例4已知正数x，y，z满足x2+y2+z2
A.3 B.3(3+1)2 C.4
【思路点拨】
本题变量为3个，方程1个，因此可以“自由”使用两次均值不等式，根据题干条件，可以先将目标S=1+z2xyz中的xy利用均值不等式转化为
练5(2024·福建省莆田市模拟)已知x+1y0，则x+4x+y+1+
A.3102?1 B.103 C.
练6(2024·湖北省襄阳市模拟)已知x0，y0，z0，则x+yx+
题型五：柯西不等式
题型五：柯西不等式
柯西不等式的二维形式是：a2+b
其向量形式为：m=a,b
根据柯西不等式的结构，即a2+b
例5已知m，n均为正实数，4m+n=9，则2m+1
【思路点拨】
题干条件相当于目标的平方和的形式，因此可以通过配凑系数，利用柯西不等式求解.
练7(2024·北京市期末)已知a+b=3(a0,b0)，则a2
练8(2024·山东省·单元测试)柯西不等式(Cauc?y?Sc?warz?Lnequality)是法国数学家柯西与德国数学家施瓦茨分别独立发现的，它在数学分析中有广泛的应用.现给出一个二维柯西不等式：(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2，当且仅当ad=bc时即ac=bd时，等号成立.根据柯西不等式可以得知函数f(x)=3
25 B.23 C.
专题训练
专题训练
1.(2024·安徽省·月考试卷)已知实数a，b，c满足14a2+14
A.?∞,4 B.?4,4 C.?2,4D.?1,4
2.(2024·河南省·月考试卷)若正实数x，y满足x+y=1，且不等式4x+1+1ym
A.m?3或m32B.m?32或m3C.?
3.(2024··期中考试)已知函数fx=ax?4+1(a0且a≠1)的图象恒过定点A，若点A的坐标满足关于x,y的方程mx+ny=4m0,n0
A.9 B.24 C.4 D.6
4.(2024·湖北省武汉市模拟)已知正实数a