*....第31页，共53页，星期日，2025年，2月5日*3分式线性变换的保对称性定理7.12证明由分式线性变换的保角性,由定理7.11,第32页，共53页，星期日，2025年，2月5日*解由定理7.12,例5求线性变换变为上半平面,使将圆盘第33页，共53页，星期日，2025年，2月5日*由线性变换的保交比性,所求的线性变换为即整理后得第34页，共53页，星期日，2025年，2月5日*六线性变换的应用由于线性变换具有共形性,保交比性,保圆(圆周)性和保对称点性,它在处理边界为圆弧或直线的区域变换中,起着重要的作用,下面介绍一些类型.例6第35页，共53页，星期日，2025年，2月5日*事实上,所述变换将实轴变为实轴,且当z为实数时即实轴变为实轴是同向的,或解第36页，共53页，星期日，2025年，2月5日*例7解故第37页，共53页，星期日，2025年，2月5日*即故解该方程组得故所的线性变换为第38页，共53页，星期日，2025年，2月5日关于分式线性变换第1页，共53页，星期日，2025年，2月5日*一分式线性变换及其分解1分式线性变换概念(1)函数称为分式线性变换,简记为(2)在扩充z平面上补充定义第2页，共53页，星期日，2025年，2月5日*(4)由定理7.1注,(7.3)在扩充z平面上是保域的第3页，共53页，星期日，2025年，2月5日*2分式线性变换的分解第4页，共53页，星期日，2025年，2月5日*(1)线性变换(7.3)可分解为下述简单类型变换的复合(2)(I)(II)型变换的几何性质旋转位似(伸缩)平移第5页，共53页，星期日，2025年，2月5日*旋转与伸长(或缩短)变换平移映射第6页，共53页，星期日，2025年，2月5日*此变换可进一步分解为:关于单位圆周的对称变换;关于实轴的对称变换....规定:无穷远点的对称点是圆心O.第7页，共53页，星期日，2025年，2月5日*....即:第8页，共53页，星期日，2025年，2月5日*例1试将线性变换分解为简单变换的复合.解因此可分解为的复合.第9页，共53页，星期日，2025年，2月5日*例2试证:除恒等变换外,一切线性变换(7.3)恒有两个相异的或一个二重的不动点证明线性变换(7.3)的不动点适合即上面系数不全为零,第10页，共53页，星期日，2025年，2月5日*这时(7.3)为有不动点第11页，共53页，星期日，2025年，2月5日*不动点二分式线性变换的共形第12页，共53页，星期日，2025年，2月5日*定义7.3由定义7.3引入两个反演变换第13页，共53页，星期日，2025年，2月5日*3定理7.7分式线性变换(7.3)在扩充z平面上是共形的.注在无穷远点处,不考虑伸缩性的不变性.第14页，共53页，星期日，2025年，2月5日*三分式线性变换的保交比性1定义7.4注第15页，共53页，星期日，2025年，2月5日*2定理7.8在分式线性变换下，四点的交比不变。证明因此第16页，共53页，星期日，2025年，2月5日*注因此只需指定三对对应点:且除相差一个常数因子外是唯一的.第17页，共53页，星期日，2025年，2月5日*3定理7.9注三对对应点唯一确定一分式线性变换.证明先考虑已给各点都是有限点的情形,设所求分式线性函数是那么，由第18页，共53页，星期日，2025年，2月5日*得同理，有因此，有第19页，共53页，星期日，2025年，2月5日*由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。那么，由同理有由此，我们可以解出分式线性函数。由此也显然得这样的分式线性函数也是唯一的。其次，如果已给各点除外都是有限点。则所求分式线性函数有下列的形式：第20页，共53页，星期日，2025年，2月5日*例3求将分别变为的分式线性变换.解所求的分式线性变换为即整理得第21页，共53页，星期日，2025年，2月5日*四分式线性变换的保圆周(圆)性对(I)显然将圆周(或直线)变为圆周(或直线).对(II)型:因圆周(或直线)可表为它表示圆周或直线.第22页，共53页，星期日，2025年，2月5日*1定理7.10