五、闭区间上连续函数的性质定义:例如,第31页，共58页，星期日，2025年，2月5日定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.注意:1.若区间是开区间,定理不一定成立;2.若区间内有间断点,定理不一定成立.第32页，共58页，星期日，2025年，2月5日定理2(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.证第33页，共58页，星期日，2025年，2月5日定义:第34页，共58页，星期日，2025年，2月5日几何解释:第35页，共58页，星期日，2025年，2月5日几何解释:MBCAmab证由零点定理,第36页，共58页，星期日，2025年，2月5日推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值与最小值之间的任何值.例13证由零点定理,第37页，共58页，星期日，2025年，2月5日例14证由零点定理,第38页，共58页，星期日，2025年，2月5日六、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数;第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点(见下图)第39页，共58页，星期日，2025年，2月5日可去型第一类间断点oyx跳跃型无穷型振荡型第二类间断点oyxoyxoyx第40页，共58页，星期日，2025年，2月5日4.连续函数的和差积商的连续性.6.复合函数的连续性.7.初等函数的连续性.定义区间与定义域的区别;求极限的又一种方法.两个定理;两点意义.5.反函数的连续性.第41页，共58页，星期日，2025年，2月5日8.有界性定理;最值定理;介值定理;根的存在性定理.注意1．闭区间；2．连续函数．这两点不满足上述定理不一定成立．解题思路直接法:先利用最值定理,再利用介值定理;辅助函数法:先作辅助函数F(x),再利用零点定理;第42页，共58页，星期日，2025年，2月5日思考题1第43页，共58页，星期日，2025年，2月5日思考题1解答且第44页，共58页，星期日，2025年，2月5日*关于函数的连续与间断第1页，共58页，星期日，2025年，2月5日一、函数的连续性1.函数的增量第2页，共58页，星期日，2025年，2月5日2.连续的定义第3页，共58页，星期日，2025年，2月5日第4页，共58页，星期日，2025年，2月5日例1证由定义2知第5页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.单侧连续定理第6页，共58页，星期日，2025年，2月5日例2解右连续但不左连续,第7页，共58页，星期日，2025年，2月5日4.连续函数与连续区间在区间上每一点都连续的函数,叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上连续.连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如,第8页，共58页，星期日，2025年，2月5日例3证第9页，共58页，星期日，2025年，2月5日二、函数的间断点及其分类第10页，共58页，星期日，2025年，2月5日1.跳跃间断点例4解第11页，共58页，星期日，2025年，2月5日2.可去间断点例5第12页，共58页，星期日，2025年，2月5日解注意可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.第13页，共58页，星期日，2025年，2月5日如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.特点第14页，共58页，星期日，2025年，2月5日3.第二类间断点例6解第15页，共58页，星期日，2025年，2月5日例7解注意不要以为函数的间断点只是个别的几个点.第16页，共58页，星期日，2025年，2月5日狄利克雷函数在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.仅在x=0处连续,其余各点处处间断.★★第17页，共58页，星期日，2025年，2月5日在定义域R内每一点处都间断,但其绝对值处处连续.★判断下列间断点类型:第18页，共58页，星期日，2025年，2月5日例8解第19页，共58页，星期日，2025年，2月5日三、连续函数的运算定理1例如,第20页，共58页，星期日，2025年，2月5日定理2严格单调的连续函数必有严格单调的连续反函数.例如,反三角函数在其定义域内皆连续.第21页，共58页，星期日，2025年，2月5日定理3证第22页，共58页，星期日，2025年，2月5日将上两步合起来: