导数与极值
知识与方法
1.极值点就是导函数的变号零，点，这是一句需要刻在脑门上的话，经常会用到.
2.变号零点：经过这个零点时，函数的值变号，由正转负或由负转正.
3.若为的变号零点，则是的极值点，是的极值.
4.常用解题工具：的图象.
5.我们只关注的正负性，故若有大于0的因式，这部分可直接忽略.例如，设，则可忽略，只画“”的图象，即可代表的图象.
题组一
1.（2012·陕西·文·9·★★）
设函数，则（）
A.为的极大值点
B.为的极小值点
C.为的极大值点
D.为的极小值点
【解析】，画出的草图，可知为极小值点.
【答案】D
【提炼】画的草图时，可以无视大于0的因式（因为大于0的因式不影垧的正负性），所以这题只需要画的草图，就可以代表的正负了.
2.（★★）
设函数，则（）
A.为的极大值点
B.为的极小值点
C.为的极大值点
D.为的极小值点
【解析】，画出的草图可知为极小值点.
【答案】D
3.（★★）
已知为函数的极小值点，则（）
A. B. C.4 D.2
【解析】，画出的草图，可知极小值点为2，故.
【答案】D
题组二
4.（★）
已知函数在处取得极值，确定的值.
【解析】由题意得
在处取得极值，所以，
即，解得.
此时，由得或，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，在，上单调递增，故在处取得极大值，符合题意，所以.
5.（★）
已知是函数的一个极值点，求.
【解析】.
因为是函数的极值点，所以，解得.
此时，由得或，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极值点，符合题意.
6.（★★★）
若是函数的极值点，则的极小值为（）
A. B.
C. D.1
【解析】由题意得是的极值点
，所以，
画出草图（忽视大于0的因式）.由图可知为极小值点，.
【答案】A
【提炼】①利用题目已知条件求得参数的值；②通过的草图判断出极小值点；③画草图时，大于0的因式可以忽略.
7.（★★★）
已知为自然对数的底数，设函数。，则（）
A.当时，在处取到极小值
B.当时，在处取到极大值
C.当时，在处取到极小值
D.当时，在处取到极大值
【解析】当时，，
所以，故不是的极值点.
当时，，
若，则，所以，
若，则，所以，
从而在上单调递减，在上单调递增，故在处取到极小值.
【答案】C
【提炼】本题只需判断在处的极值情况，故可将研究的区间收窄一些，便于判断这个部分的正负.
题组三
8.（★★）
已知函数，证明存在唯一的极值点.
【解析】证明：的定义域为
所以在上单调递增.
而，
故存在唯一的，使得，且当
时，；当时，.
所以在上单调递减，在，上单调递增，即存在唯一的极值点.
9.（★★★）
已知函数.
（I）当时，求曲线在点处的切线方程；
（II）求函数的极值.
【解析.（I）当时，，故，
所求切线方程为，即.
（II）由题意得，.
当时，恒成立，故在上单调递增，即无极值；
当时，由得，由得，所以在上单调递减，在上单调递增.故有极小值，无极大值.
综上所述，当时，无极值；当时，有极小值，无极大值.
题组四
10.（★★）
设，若函数有大于零的极值点，则（）
A. B.
C. D.
【解析】设，则.当时，恒成立，故在上单调递增，
所以无极值点，不符合题意；
当时，.
同理，，所以在上单调递减，
在上单调递增，即有唯一的极小值点.
要使函数有大于零的极值点，则，即，故，解得.
【答案】B
11.（2021·全国乙卷·理·10·★★）
设，若是函数的极大值点，则（）
A. B.
C. D.
【解析】由题意，，当时，要使是的极大值点，如图1，应有，所以，此时，当时，要使是的极大值点，如图2，应有，所以，此时，故选D.
【答案】D
12.（★★★）
若函数有两个极值点，则实数的取值范围是（）
A. B.
C. D.
【解析】由题意得在上有2个零点，即有2根，作出图象如下：
结合在点处的切线为知，当且仅当时，有两根，即有2个零点，此时有2个极值点，故.
【答案】B
【提炼】图象上有两条切线可以记住，一条是在处的切线，另一条是过原点的切线.