试卷第=page11页，共=sectionpages33页
试卷第=page11页，共=sectionpages33页
【专题讲解】期末考试必考的10大核心考点
必考考点2??导数几何意义和函数的单调性、极值
【必备知识】
1．导数的概念及其意义
（1）函数的平均变化率：对于函数，设自变量从变化到，相应地，函数值就从变化到．这时，的变化量为，的变化量为．我们把比值，即叫做函数从到的平均变化率．
（2）导数的概念：如果当时，平均变化率无限趋近于一个确定的值，即有极限，则称在处可导，并把这个确定的值叫做在处的导数（也称为瞬时变化率），记作或，即．
（3）导数的几何意义：函数在点处的导数的几何意义，就是曲线在点处的切线的斜率．也就是说，曲线在点处的切线的斜率是．相应的切线方程为．
（4）导函数的概念：当时，是一个唯一确定的数，这样，当变化时，就是的函数，我们称它为的导函数（简称导数）的导函数有时也记作，即．
2．导数的运算
（1）基本初等函数的导数公式．
原函数
导函数
（为常数）
0
，且
，且
，且
（2）导数的四则运算法则．
名称
法则
和差
积
，特别地，
商
（3）简单复合函数的导数．
一般地，对于两个函数和，如果通过中间变量，可以表示成的函数，那么称这个函数为函数和的复合函数，记作．它的导数与函数，的导数间的关系为．即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积．
【常用结论】
1．导数的两条性质
（1）奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数．
（2）可导函数的导数为，若为增函数，则的图象是下凹的；反之，若为减函数，则的图象是上凸的．
2．几类重要的切线方程
（1）是曲线的切线，是曲线的切线，，是曲线的切线，如图1．
图1
（2）与是曲线的切线，如图2．
图2
（3）是曲线与的切线，如图3．
图3
【考向归类】
考向一：求导运算
【典例1】（22-23高二下·北京海淀区·期末）下列导数运算错误的是（）
A．，则????B．，则
C．，则????D．，则
【答案】B
【分析】根据求导法则，求导公式逐个选项计算即可．
【详解】A选项，，则，A正确；
B选项，，，B错误；
C选项，，，C正确；
D选项，，，D正确．
故选：B
【备考提醒】一般对函数式先化简再求导，常用求导技巧有以下几种．①连乘积形式，先展开化为多项式的形式，再求导．②分式形式，观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导．③对数形式，先化为和、差的形式，再求导．④根式形式，先化为分数指数幂的形式，再求导．⑤三角形式，先利用公式化简函数，再求导．⑥复合函数，确定复合关系，由外向内，层层求导．
【举一反三】
（22-23高二下·河南濮阳·期末）
1．已知函数,则（????）
A． B． C． D．-3
（22-23高二下·江苏徐州·期末）
2．下列求导运算正确的是（????）
A． B．
C． D．
考向二：求切线方程
【典例2】（22-23高二下·江西赣州·期末）已知函数，直线过点且与曲线相切，则直线的斜率为（）
A.24????B．或????C.45????D.0或45
【答案】B
【分析】设直线与曲线相切的切点为并求切线方程，将点代入切线方程，从而解方程即可得到结果．
【详解】由，得，
设直线与曲线相切的切点为，
则在处的切线斜率为，
所以，切线方程为，
将点的坐标代入并整理，得，
即，解得或，
所以直线的斜率为24或．
故选：B．
【备考提醒】①以曲线上的点为切点的切线方程的求解步骤：先求出函数的导数，再求切线的斜率，最后写出切线方程，并化简．②如果已知点不在曲线上，则设出切点，解方程组得切点，进而确定切线方程．求切线方程时，要注意判断已知点是否满足曲线方程，即是否在曲线上．与曲线只有一个公共点的直线不一定是曲线的切线，曲线的切线与曲线的公共点不一定只有一个．
【举一反三】
（22-23高二下·内蒙古呼和浩特市·期末）
3．曲线在点处的切线方程为（???）
A． B．
C． D．
（22-23高二下·福建厦门·期末）
4．直线与两条曲线和均相切，则的斜率为（????）
A． B．1 C．2 D．
考向三：根据切线情况求参数
【典例3】（22-23高二下·江苏连云港·期末）已知曲线存在过坐标原点的切线，则实数的取值范围是（）
A．????B．
C．????D．
【答案】B
【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有实数根，求得的取值范围．
【详解】∵，
∴，
设切点为，则，切线斜率，
∴切线方程为，
∵切线过原点，
∴，整理得：
∵存在过坐标原点的切线，
∴，解得或，
∴