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第一篇分析基础
1.1收敛序列
（收敛序列的定义）
定义：设{xn}是实数序列，a是实数，如果对任意ε0都存在自然数N，使得只要nN，就有
nx一aε
n
那么{xn}收敛，且以a为极限，称为序列{xn}收敛收敛于a，记为
limxn=a或者xn→a(n→+∞)
定理1：如果序列{xn}有极限，那么它的极限是唯一的。
定理2（夹逼原理）：设{xn}，{yn}和{zn}都是实数序列，满足条件
x≤y≤z,n∈N
nnn
如果limxn=limzn=a，那么{yn}也是收敛序列，且有
limy=a
n
定理3：设{xn}是实数序列，a是实数，则以下三陈述等价
（1）序列{xn}以a为极限；
（2）{xn一a}是无穷小序列；
（3）存在无穷小序列{an}使得
x=a+a,n=1,2,.
nn
（收敛序列性质）
定理4：收敛序列{xn}是有界的。
定理5：
（1）设limxn=a，则limxn=a。
（2）设limxn=a，limyn=b，则lim(xn±yn)=a±b。
（3）设limxn=a，limyn=b，则lim(xnyn)=ab。
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（4）设xn≠0，limxn=a≠0，则。n
（5）设xn≠0，limxn=a≠0，limyn=b，则
nn
（收敛序列与不等式）
定理6：如果limxlimy，那么存在N∈N，使得nN时有
nn00
xy
nn
定理7：如果{x}和{y}都是收敛序列，且满足
nn
xn≤yn,nN0,
那么
limx≤limy
nn
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1.2收敛原理
（单调序列定义）
定义：(1)若实数序列{x}满足
n
x≤x,丫n∈N,
nn+1
则称{x}是递增的或者单调上升的，记为
n
{x}↑.
n
(2)若实数序列{y}满足
n
y≥y,丫n∈N,
nn+1
则称{y}是递减的或者单调下降的，记为
n
{y}↓
n
(3)单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。
定理1：递增序列{x}收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为sup{x}。
nn
定理1推论：递减序列{y}收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf{x}。
nn
扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）有关，所以定理1和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为
x≤x,丫nN,
nn+10
及
y≥y,丫nN,
nn+10
（自然对数的底e）
自然对数的底e通过下面这个式子求得
我们先来证明序列是收