图形与几何03圆的拓展应用
知识导图
知识导图
【本讲概要】
巧求圆周长；
圆面积阴影部分面积综合；
妙思解扇形；
用代换法求面积；
圆的综合应用。
第一关
第一关巧求圆周长
【知识点】
1.求圆的周长必须知道直径或半径。
2.圆的周长公式：
3.半圆的周长公式：
【例1】如图，从A村到B村沿着大半圆周走和沿着小半圆周走，路程相同吗？
【答案】相同，都是21.98厘米
【点拨】沿着大半圆周走，路程就是大圆周长的一半；沿着小半圆周走，路程就是两个小圆周长的一半之和。要比较它们的路程是否相同，其实就是比较大圆周长的一半与两个小圆周长的一半之和是否相等。
大半圆周的长：
小半圆周的长：
【同步练习1】一只蚂蚁从A地到B地有两条路线可走（如图中①、②）。比较这两条路，你觉得是路线①近，还是②近，还是同样近呢？请运用学过的知识，用自己喜欢的方式说说理由。
【答案】同样近；因为路线①长厘米，路线②长厘米，所以两条路线同样近。
【例2】在第一跑道（最里圈跑道）为400米的跑道上进行400米赛跑时，当第一跑道的起跑线确定后，其余各跑道的起跑线应该相差多少米？（取3.1415926）
【答案】7.85米
【点拨】先求出相邻赛道弯道的直径差，再求出相邻赛道的长度差。以后每一赛道依次向前移相邻跑道的长度差的距离。
相邻两条弯道的直径差：1.25×2=2.5米
相邻两条赛道长度相差：3.1415926×2.5≈7.85米。
【同步练习2】下面是永兴小学新建成的400米塑胶跑道，直跑道长85.96米，第一条半圆形跑道的直径为72.6米，每条跑道宽1.2米。进行800米比赛时，如果全程不变道，那么在设置起点时，每一道的起跑线比前一道提前多少米？进行200米比赛时，第四道的起跑线比第一道提前多少？
【答案】15.072米；11.304米
第二关
第二关精算圆面积
【知识点】
1.计算圆的面积，要牢记以下几个公式：
圆的面积=圆环的面积=
2.外方内圆：正方形和圆之间的面积=：=4：
3.外圆内方：圆和正方形之间的面积=：=：2
【例3】圆的面积计算公式是通过把圆转化成长方形推导出来的。如图所示，把一个圆剪拼成近似的长方形后，长方形的周长比圆的周长多8厘米，原来圆的面积是多少平方厘米？
【答案】由圆的面积推导公式可知，拼成长方形的长相当于圆周长的一半（），宽相当于圆的半径（r）。所以，长方形的周长=，即2r=8，可求r。
R=8×2=4，S=3.14×2×2=50.24平方厘米。
【同步练习3】把一个圆剪拼成一个近似的长方形，圆的周长比长方形的周长短10厘米，这个圆的面积是多少平方厘米？
【答案】78.5平方厘米
【例4】求下图中阴影部分的面积。
【答案】上图中阴影部分①即是圆，平移至左边空白部分②处，则阴影部分变成了一个长为3厘米，宽为2厘米的长方形。如下图：
（2+1）×2=6平方厘米。
【同步练习4】求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】18平方厘米25平方厘米
【例5】如图，正方形的边长为16厘米，A和B分别是两条边的中点，求阴影部分的面积。
【答案】18平方厘米
【点拨】连结线段如下图，将下面的图上移拼成一个长方形，即阴影图形的面积即为正方形面积的一半，16×16÷2=18平方厘米。
【同步练习5】正方形的边长是8厘米，求阴影部分的面积。
【答案】32平方厘米
第三关：妙思解扇形
第三关：妙思解扇形
【知识点】
扇形的周长和面积是根据圆形的周长和面积公式推导而来的，在计算扇形的周长和面积时，一定要看清半径，找准圆心角，牢记下面两个公式。
扇形的弧长公式：扇形的面积公式：
【例6】求右图中阴影部分的周长。
【答案】117.64厘米
【点拨】从图上可以看出，36厘米既是半圆的直径，又是圆心角是40°扇形的半径。因此阴影部分的周长等于圆周长的一半加一条直径再加圆心角40°扇形的弧长。
56.52+25.12+36=117.64（厘米）
【同步练习6】下面三个圆的半径都为5厘米，求阴影部分的周长和面积。
【答案】周长：45.7厘米，面积：39.25平方厘米
【例7】如图，三角形ABC是等腰直角三角形，AB长8厘米，求阴影部分的面积。
【答案】18.24平方厘米
【点拨】依图可知，扇形的半径BC=AB=8厘米，阴影部分可看成上、下两个45°扇形的重叠部分。因此，。
【同步练习7】求下图阴影部分的面积。（单位：厘米）
【答案】10.26平方厘米
第四关：用代换法求面积
第四关：用代换法求面积
【知识点】
求圆或圆环面积，不一定非要知道R和r，若知道或,用代换法计算会更简便。
【例8】右图中正方形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。
【答案】28.26平