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经典三类球：外接球、内切球、棱切球

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【考点预测】

考点一：正方体、长方体外接球

1.正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

2.长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．

3.补成长方体

(1)若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．

(2)若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．

PA

(3)正四面体P-ABC可以补形为正方体且正方体的棱长a=，如图3所示．

2

(4)若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示

考点二：图1图2图3图4

正四面体外接球

如图，设正四面体ABCD的的棱长为a，将其放入正方体中，则正方体的棱长为2a，显然正四面体

2

和正方体有相同的外接球．正方体外接球半径为R=a?23=a，即正四面体外接球半径为R=6

224

6

a．

4

考点三：对棱相等的三棱锥外接球

四面体ABCD中，AB=CD=m，AC=BD=n，AD=BC=t，这种四面体叫做对棱相等四面体，可

以通过构造长方体来解决这类问题．

222

b+c=m

222

222222m+n+t

如图，设长方体的长、宽、高分别为a,b,c，则a+c=n，三式相加可得a+b+c=,而显然

?

2

222

?

?a+b=t

222

2222m+n+t

四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则a+b+c=4R，所以R=．

8

1

考点四：直