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【专题讲解】期末考试必考的10大核心考点
必考考点3????导数的应用
【考向归类】
考向一：分离参数求参数范围
【典例1】（22-23高二下·吉林长春·期末）已知函数．
（1）当时，求的单调区间与极值；
（2）若在上有解，求实数a的取值范围．
【答案】（1）在上单调递减，在上单调递增，函数有极小值，无极大值
（2）
【分析】（1）利用导数的正负判断函数的单调性，然后由极值的定义求解即可；
（2）分和两种情况分析求解，当时，不等式变形为在，上有解，构造函数，利用导数研究函数的单调性，求解的最小值，即可得到答案．
【详解】（1）当时，，所以
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时函数有极小值，无极大值．
（2）因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时在上有解，
令，则
由（1）知时，即，
当时；当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数a的取值范围是．
【备考提醒】分离参数法解决恒(能)成立问题的策略
（1）分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
（2）a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min；
a≥f(x)能成立?a≥f(x)min；
a≤f(x)能成立?a≤f(x)max．
【举一反三】
（22-23高二下·江西南昌·期末）
1．已知函数，.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围.
考向二：等价转化求参数范围
【典例2】（22-23高二下·广西柳州·期末）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若为函数的极值点，当，不等式恒成立，求实数m的取值范围．
【答案】（1）答案见解析
（2）
【分析】（1）求出函数的导数，分类讨论，求出（）的解，即可得到单调区间；
（2）由极值点可求出，原不等式恒成立可转化为，令，利用导数求出函数的最大值，建立不等式求解即可．
【详解】（1）
①当时，恒成立，
∴只有减区间，
②当时，令，得，令，得
∴的增区间为，的减区间为．
（2）为函数的极值点，
∴
，
当，不等式
即，令，．
，，
若，在上恒成立．
则在上为减函数，
所以有满足题意．
若，由，可得，则在上递增，
所以在上存在使得与题意不符合
综上所述，
【备考提醒】根据不等式恒成立构造函数转化成求函数的最值问题，一般需讨论参数范围，借助函数单调性求解．
【举一反三】
（22-23高二下·陕西咸阳·期末）
2．已知函数
(1)当时，求的极值；
(2)若对，，求实数的取值范围.
考向三：双变量的恒（能）成立问题
【典例3】（22-23高二下·山东淄博·期末）已知函数（其中为自然对数的底数），函数．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若对，不等式恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）利用导数几何意义可求得切线斜率，结合可求得切线方程；
（2）将问题转化为；利用导数可求得单调性，得到；求得后，分别在、和的情况下，讨论的单调性，得到，由此可构造不等式求得的取值范围．
【详解】（1），，又，
在点处的切线方程为：，即．
（2）对，不等式恒成立，；
，当时，恒成立，
在上单调递增，；
，令，解得：或；
①当，即时，在上恒成立，在上单调递增，
，由得：，解得：；
②当，即时，
若，则；若，则；
在上单调递减，在上单调递增，
，不满足；
③当，即时，在上恒成立，在上单调递减，
，由得：，解得：（舍）；
综上所述：实数的取值范围为．
【备考提醒】“双变量”的恒(能)成立问题一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价变换，常见的等价变换有
对于某一区间I
（1）?x1，x2∈I，f(x1)g(x2)?f(x)ming(x)max．
（2）?x1∈I1，?x2∈I2，f(x1)g(x2)?f(x)ming(x)min．
（3）?x1∈I1，?x2∈I2，f(x1)g(x2)?f(x)maxg(x)max．
【举一反三】
（22-23高二下·河北邢台·期末）
3．已知函数（），为正实数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若，，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【考向归类】
考向一：将不等式转化为函数的最值问题
【典例1】（22-23高二下·上海嘉定·期末）已知函数．
（1）当时，求函数的图像在点处的切线方程；
（2）讨论函数的单调性；
（3）证明：当时，．
【答案】（1）．
（2）见解析．
（3）见解析．
【分析】（1）当时，，求出，，即可写出点处的切线方程．
（2）求出导函数后，对参数与进行讨论，分别求出对应情