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广西柳州市柳州铁一中学2025届下学期5月适应性考试（一）数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（???）
A． B． C． D．
2．已知是复数的共轭复数，（为虚数单位），则的虚部是（???）
A． B． C．1 D．
3．已知都是单位向量，夹角为，则的值为（???）
A．1 B．2 C． D．
4．已知，则（???）
A．3 B．2 C． D．
5．已知圆和圆有公共点，则的取值范围为（???）
A． B． C． D．
6．若随机变量，且，则的最小值为（???）
A． B． C．1 D．2
7．已知为抛物线上的一点，过作圆的两条切线，切点分别为，，则的最小值是（????）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左、右焦点分别为，过的直线与交于两点，若，且，则的离心率为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为.记事件为“两人都击中”，事件为“至少1人击中”，事件为“无人击中”，则下列说法正确的是（????）
A．事件与是互斥事件 B．事件与是对立事件
C．事件与相互独立 D．
10．已知函数，则存在实数，使得（???）
A．的最小正周期为 B．是偶函数
C．是奇函数 D．的最大值为0
11．对任意的，，函数满足，且，，则（????）
A． B．是奇函数
C．4为函数的一个周期 D．
三、填空题
12．已知数列满足，则数列的前4项的和为．
13．2025年，省属“三位一体”综合评价招生政策进行了调整，每位考生限报四所大学．某考生从6所大学中选择4所进行报名，其中甲、乙两所学校至多报一所，则该考生报名的可能情况有种．
14．已知圆台上下底面半径分别为1，2，母线长为2，则圆台的体积等于；为下底面圆周上一定点，一只蚂蚁从点出发，绕着圆台的侧面爬行一周又回到点，则爬行的最短距离为．
四、解答题
15．在东京奥运会中，甲，乙、丙三名跳水运动员参加小组赛，已知甲晋级的概率为，乙、丙晋级的概率均为，且三人是否晋级相互对立.
(1)若甲晋级的概率与乙、丙两人均没有晋级的概率相等，与乙、丙两人有且仅有一人晋级的概率也相等，求，；
(2)若，记三个人中晋级的人数为，若时的概率和时的概率相等，求.
16．已知在中，，其中内角的对边分别为．
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，且，求的最大值．
17．已知，分别为双曲线C：的左、右焦点，过的直线l与双曲线C的右支交于A，B两点．当l与x轴垂直时，面积为12．
(1)求双曲线C的标准方程；
(2)当l与x轴不垂直时，作线段AB的中垂线，交x轴于点D．试判断是否为定值．若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
18．如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，，，，.
(1)求证：；
(2)若，
①判断直线与直线的位置关系，并说明理由；
②求平面与平面的夹角.
19．已知函数，，.
(1)证明：.
(2)讨论函数在上的零点个数.
(3)当，时，证明：，.
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《广西柳州市柳州铁一中学2025届下学期5月适应性考试（一）数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
A
C
B
C
C
D
ABD
AC
题号
11
答案
ACD
1．C
【分析】由对数函数单调性得到，即可求解.
【详解】，
所以．
故选：C
2．C
【分析】由复数除法运算及共轭复数概念即可求解.
【详解】由，
可得：，故的虚部为1．
故选：C
3．A
【分析】通过可求解.
【详解】由条件，
故选：A
4．C
【分析】利用两角和与差的正切公式求解即可.
【详解】
故选：C.
5．B
【分析】由两圆位置关系构造不等式求解即可.
【详解】由题可得，
解得：．
故选：B
6．C
【分析】由正态分布的对称性有，再应用“1”的代换和基本不等式求目标式的最小值.
【详解】由题设，则，
当且仅当时取等号，即的最小值为1.
故选：C
7．C
【分析】设，由取得最小值，则最大，最小求解.
【详解】解：如图所示：
因为，
设，
则，
，
当时，取得最小值，
此时，最大