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河北省秦皇岛市部分重点中学2025届高三下学期抽测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，则（????）
A． B． C． D．
2．若非零复数满足，则（????）
A．1 B． C．2 D．
3．已知平面向量是单位向量，且，则（????）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．已知随机变量服从二项分布，若随机变量满足，则（????）
A． B． C． D．
5．已知双曲线的渐近线与相切，则该双曲线的离心率为（????）
A． B． C． D．2
6．已知函数，则（????）
A．的零点均为的零点 B．的零点均为的零点
C．的极值点均为的零点 D．的零点均为的极值点
7．已知等比数列的各项均为正数，且公比，设，则在这3个数中（????）
A．小于4的数至少有2个 B．小于4的数至多有2个
C．大于4的数至少有2个 D．大于4的数至多有2个
8．若直线同时是曲线和曲线的切线，则斜率的最小值为（????）
A．1 B．2 C． D．
二、多选题
9．已知圆台的上、下底面半径分别为1和4，母线长为5，则该圆台的（????）
A．高为4 B．母线与底面所成角为
C．侧面积为 D．体积为
10．若函数及其导函数的定义域均为，且均为偶函数，则（????）
A．一定是奇函数 B．一定是奇函数
C．一定是偶函数 D．一定是偶函数
11．甲、乙、丙三个人进行比赛，每轮比赛由两人进行对局，另外一人为该轮的轮空者，随机决定首轮比赛的对局双方，每轮比赛的胜者与该轮的轮空者进行下一轮比赛的对局，以此类推，率先赢得两轮比赛的人夺冠．单局比赛中，每局比赛的结果只有胜、负两种情况，已知甲对乙、丙的胜率分别为，乙对丙的胜率为，且，每轮比赛的结果相互独立．则（????）
A．若首轮比赛乙与丙对局，则甲夺冠的概率与的值无关
B．若，首轮比赛甲与乙对局，则甲夺冠的概率与的值无关
C．若，首轮比赛甲与乙对局，则乙夺冠的概率大于甲
D．若，相比于首轮比赛甲与乙对局，甲与丙对局时甲夺冠的概率更大
三、填空题
12．设椭圆的左焦点为，点在上，则的最小值为，最大值为．
13．一组互不相等的样本数据，其中，若在样本中加入数据后，新样本数据的回归直线方程与原样本数据的相同，则这组样本数据的回归直线方程为．
14．已知正四棱锥的底面边长为3，正四棱锥内部的球与其所有面均相切，若球面上仅有一点满足且，则球的表面积为．
四、解答题
15．记的内角所对的边分别为，已知．
(1)求；
(2)若的周长为，求的面积．
16．已知函数，其导函数为，曲线与曲线交于两点，其中点的横坐标为1．
(1)求点的纵坐标；
(2)证明：点的横坐标大于1；
(3)设，证明：．
17．如图，在四棱锥中，底面是菱形，．
(1)证明：；
(2)若平面平面，求点到平面的距离．
18．已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，与平行的直线交于两点，其中在轴上方，分别为的中点．
(1)当直线不垂直于轴时，证明：直线轴；
(2)若，求；
(3)若，求．
19．数列各项均为正整数，，从中任取个不同的数.若不同取法对应的个数之和不同，则称数列是覆盖数列．
(1)若，求所有的，使数列是覆盖数列；
(2)若，证明：数列是覆盖数列；
(3)若当时，成等差数列，当时，
成等差数列，证明：且，数列是覆盖数列．
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《河北省秦皇岛市部分重点中学2025届高三下学期抽测数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
B
D
C
A
B
C
C
ACD
BC
题号
11
答案
ABC
1．A
【分析】分别求解集合与集合，再根据交集的定义求出.
【详解】对于集合，将不等式变形为，即.
则，所以集合.
对于集合，解不等式，得到，即集合.
所以，即.
故选：A.
2．B
【分析】设出复数的代数形式，利用复数的乘法，结合复数模及复数相等求出即可得解.
【详解】设，由，得，
即，则，解得，
所以.
故选：B
3．D
【分析】根据给定条件，利用模的坐标表示及数量积的运算律求解即得.
【详解】由向量，得，由，得，
所以.
故选：D
4．C
【分析】利用二项分布的期望公式及性