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河南省焦作市博爱县第一中学2024-2025学年高三下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，函数，则“”是“存在最小值”的（???）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知，则下列结论不正确的是（????）
A．是奇函数 B．在区间上单调递增
C．有3个零点 D．，
3．在△中，，为的中点，为线段上的一个动点，则的最小值为（????）
A． B． C． D．
4．若复数且，则满足的复数的个数为（???）
A．0 B．2 C．1 D．4
5．已知分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上存在两点使得梯形的高为（为该椭圆的半焦距），且，则椭圆的离心率为（????）
A． B． C． D．
6．某罐中装有大小和质地相同的4个红球和3个绿球，每次不放回地随机摸出1个球.记“第一次摸球时摸到红球”，“第一次摸球时摸到绿球”，“第二次摸球时摸到红球”，“第二次摸球时摸到绿球”，“两次都摸到红球”，“两次都摸到绿球”，则下列说法中正确的是（????）
A． B．
C． D．
7．已知是递减的整数数列，若，且，则的最小值为（???）
A．54 B．55 C．63 D．64
8．函数，若存在，使有解，则的取值范围为（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则下列说法中正确的是（????）
A．的图象关于原点对称
B．的值域为
C．当时，恒成立
D．若在区间上有2024个不同的实数根，则的取值范围是
10．古人立杆测日影以定时间，后来逐步形成了正切和余切的概念.余切函数可以用符号表示为，其中，则下列关于余切函数的说法正确的是（????）
A．定义域为
B．在区间上单调递增
C．与正切函数有相同的对称中心
D．将函数的图象向右平移个单位可得到函数的图象
11．已知正四棱锥，底面边长为1，侧棱长为分别是中点，过点的截面将四面体的体积平分，则下列结论正确的是（????）
A．直线平面
B．直线与直线异面
C．正四棱锥外接球表面积为
D．截面不可能为等边三角形
三、填空题
12．已知函数，则．
13．已知，为第二象限角，则.
14．为深入贯彻党的二十大精神，我市邀请、、、、五位党的二十大代表分别到一中、五中、铁中、蒙中做宣讲工作，每个学校至少一人参加.若其中、因只会汉语不能到蒙中宣讲，其余三人蒙汉兼通，可选派到任何学校宣讲.则不同的选派方案共有种.
四、解答题
15．某中学为提升学生们的数学素养，激发大家学习数学的兴趣，举办了一场“数学文化素养知识大赛”，分为初赛和复赛两个环节，初赛成绩排名前两百名的学生参加复赛．已知共有8000名学生参加了初赛，现从参加初赛的全体学生中随机地抽取100人的初赛成绩作为样本，得到如下频率分布直方图：
??
(1)规定初赛成绩中不低于90分为优秀，8090分为良好，7080分为一般，6070分为合格，60分以下为不合格，若从上述样本中初赛成绩不低于80分的学生中随机抽取2人，求至少有1人初赛成绩优秀的概率，并求初赛成绩优秀的人数的分布列及数学期望；
(2)由频率分布直方图可认为该校全体参加初赛学生的初赛成绩服从正态分布，其中可近似为样本中的100名学生初赛成绩的平均值（同一组数据用该组区间的中点值代替），且．已知小华的初赛成绩为85分，利用该正态分布，估计小华是否有资格参加复赛？
（参考数据：；若，则，，．
16．在中，已知.
(1)求；
(2)若在边上存在点，使为锐角三角形，求的取值范围.
17．如图，在直平行六面体中，，且，，分别为，的中点.
(1)证明：平面；
(2)点在棱上，当平面与平面所成角的余弦值为时，求.
18．已知椭圆的一个焦点为，且过点．
(1)求椭圆的方程；
(2)若是平行于轴的动弦，直线与轴交于点，点，直线与直线交于点．
（i）求证：点恒在椭圆上；
（ii）求面积的最大值．
19．已知函数的定义域为，若存在实常数及，对任意，当且时，都有成立，则称函数具有性质.
(1)判断函数是否具有性质，并说明理由；
(2)若函数具有性质，求和的值；
(3)已知函数不存在零点，且当时具有性质，若数列满足，，且，求的通项公式.
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