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黑龙江省哈尔滨市第十三中学校2024-2025学年高三高考适应性考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若复数z满足，则（）
A． B．1 C．2 D．
2．已知条件，条件，则是的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知，则向量在方向上的投影向量为（???）
A． B． C． D．
4．某市AI智能机器人比赛项目有29位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前15名的同学才能进入决赛．若某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这29位同学的预赛积分的（????）
A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差
5．设函数，，若当时，曲线与恰有一个交点，则a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
6．过抛物线的焦点作直线l交抛物线于A、B两点，若线段AB中点的横坐标为3，则等于
A．4 B．6 C．8 D．10
7．已知，且，则（???）
A． B． C． D．
8．如图，正方形的边长为，取的各边中点作第二个正方形，然后再取的各边中点，作第三个正方形，依此方法一直继续下去，那么所有的正方形的面积之和趋近于（???）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（???）
A．数据1，2，2，5，5，5，7，9，11的众数和第60百分位数都为5
B．展开式中项的系数为140
C．若随机变量服从二项分布，则方差
D．若随机变量X服从正态分布，则
10．如图，一个漏斗的上面部分可视为长方体，下面部分可视为正四棱锥，为正方形的中心，两部分的高都是该正方形边长的一半，则（????）
A． B．平面
C．平面平面 D．与为相交直线
11．已知，是椭圆的左、右焦点，，是上位于第二象限内一点，为坐标原点，.为上一点，且，点为的中点，与交于点，且，则（????）
A．点在以为直径的圆上 B．椭圆的离心率为
C．椭圆的方程为 D．
三、填空题
12．已知函数若，则．
13．若曲线在原点处的切线也是曲线的切线，则．
14．圆心在射线上，与轴相切，且被轴所截得的弦长为的圆的方程为.
四、解答题
15．在中，角、、所对的边分别为、、，已知，．
(1)求；
(2)若的面积为，是上的点，且，求的长．
16．已知.
(1)当时，求函数的极值；
(2)，若存在3个零点，求实数的取值范围.
17．如图，在多面体中，平面，平面平面，四边形是正方形，是正三角形，，．
(1)证明：平面；
(2)若直线与底面的交点为，直线上是否存在点，使得平面与平面的夹角为60°?若存在，求的长；若不存在，请说明理由．
18．为了研究高三学生的性别与身高是否大于的关联性，调查了某中学所有高三年级的学生，整理得到如下列联表一；然后从该校所有高三学生中获取容量为的样本，整理后得到如下的列联表二:
表一:
性别
身高
合计
低于
不低于
女
男
合计
表二:
性别
身高
合计
低于
不低于
女
男
合计
独立性检验中的几个常用的小概率值和相应的临界值表:
(1)从表一中随机抽取一人，分别用、表示抽到男生、女生，用表示抽到学生身高不低于，计算、，并判断该中学高三年级学生的性别和身高是否有关联?
(2)请根据表二，依据的独立性检验，能否认为该中学高三年级学生的性别与身高有关联?对比第一问的结论，请分析两种判断方式的可靠性.为了得到准确的结论，请提出可行性建议；
(3)现在从表二中，抽取样本容量为的样本，其中女生样本数据为：、、、（单位：），男生样本数据为：、、、、、（单位：）；求出这个样本的第百分位数，并从低于第百分位数的样本数据中抽取人，记为抽到的男生人数，求的分布列及数学期望.
19．如图，分别为双曲线的左、右顶点，，双曲线的两条渐近线方程为.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)点在直线上运动，直线交双曲线左支于点，直线交双曲线右支于点与不重合).
①求直线与的斜率之积；
②问直线是否过定点?如果过定点，请求出定点坐标;如果不过定点，请说明理由.
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《黑龙江省哈尔滨市第十三中学校2024-2025学年高三高考适应性考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6