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湖北省武汉市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．曲线在点处的切线平行于直线，则点的坐标为
A． B． C．和 D．
2．函数的大致图象是（????）
A． B．
C． D．
3．“”是“函数为增函数”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知数列满足：，对任意的、恒成立，若，则（????）
A． B． C． D．
5．某人从2015年起，每年1月1日到银行新存入5万元（一年定期），若年利率为2.5%保持不变，且每年到期存款均自动转为新的一年定期，到2025年1月1日将之前所有存款及利息全部取回，他可取回的钱数约为（????）（单位：万元）
参考数据：，，
A．51 B．57 C．6.4 D．6.55
6．函数，，若有极大值点，则实数的取值范围（????）
A． B． C． D．
7．函数，若存在，使得对任意，都有，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
8．若，则（????）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题正确的是（???）
A．
B．已知函数在上可导，若，则
C．已知函数，若，则
D．设函数的导函数为，且，则
10．在数列中，已知是首项为1，公差为1的等差数列，是公差为的等差数列，其中，则下列说法正确的是（????）
A．当时，
B．若，则
C．若，则
D．当时，
11．已知函数在上可导，且的导函数为．若，，为奇函数，则下列说法正确的有（????）
A．是奇函数 B．关于点对称
C． D．
三、填空题
12．若函数，则．
13．若函数使得数列（，）为严格递增数列，则称函数为“数列的保增函数”．已知函数为“数列的保增函数”，则实数的取值范围为．
14．关于x的方程有实根，则的最小值为．
四、解答题
15．在等差数列中，，．
(1)求；
(2)若，数列的前项和为，求．
16．如图所示，是边长为60cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得，，，四个点重合于图中的点，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，，在上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设．
(1)求包装盒的容积关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
(2)当为多少时，包装盒的容积最大？并求出此时包装盒的高与底面边长的比值．
17．已知等差数列满足：，，该数列的前三项分别加上后顺次成为等比数列的前三项
（1）分别求数列，的通项公式，；
（2）设若恒成立，求的最小值．
18．已知函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)若，求证：．
19．已知函数，其中.
(1)当时，求函数在点上的切线方程.（其中e为自然对数的底数）
(2)已知关于x的方程有两个不相等的正实根，，且.
（ⅰ）求实数a的取值范围；
（ⅱ）设k为大于1的常数，当a变化时，若有最小值，求k的值.
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《湖北省武汉市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
B
C
B
A
B
B
BC
ACD
题号
11
答案
AD
1．C
【分析】求导，令，故或，经检验可得点的坐标.
【详解】因，令，故或，所以或，经检验，点，均不在直线上，故选C．
【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查导数的几何意义：函数在某点处的导数即为曲线在该点处的切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，属于基础题．
2．A
【分析】利用导数分析函数的单调性与极值，进而可得出函数的图象.
【详解】，，
所以当时，，当时，，
所以函数在上是增函数，在上是减函数，.
故选：A.
【点睛】本题主要考查函数图象的识别和判断，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性与极值是解决本题的关键．难度中等．
3．B
【分析】先根据函数单调递增，得到导函数大于等于0，从而求出，
由，但得到答案.
【详解】若函数单调递增，有恒成立，
可得，解得：，
因为，但，
所以“”是“函数为增函数”的必要不充分条件.
故选：B.
4．C
【分析】不妨取，推导出数列是等比数列，确定该数列的首项和公比，可求出