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江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期3月调研考试数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，，若向量，则（????）
A． B． C． D．
2．若，则（????）
A． B． C． D．
3．已知向量，满足，，，夹角为，则在上的投影向量为（????）
A． B． C． D．
4．在中，若，则是（????）
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
5．已知，，则（????）
A． B． C． D．
6．一艘船在A处，灯塔S在船正北方向，船以100海里/小时的速度向北偏东30°航行，30分钟后船航行到B处，从B处看灯塔S位于船南偏西75°方向上．此时灯塔S与船B之间的距离为（????）海里
A． B． C． D．
7．如图，在直角，，，点，是边上两个三等分点，则（????）
A． B．
C． D．
8．在中，角所对的边分别为，若，且，则的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列化简结果是的选项为（???）
A． B． C． D．
10．下列命题正确的是（????）
A．在中，是的充要条件
B．在中，角所对的边分别为，若，则
C．在中，角所对的边分别为，若三角形有两解，则的取值范围为
D．在中，，则为锐角三角形
11．在中，点分别满足与相交于点，则下列说法中正确的是（????）
A．
B．若，则
C．
D．若外接圆的半径为2，且，则的取值范围为
三、填空题
12．已知向量，满足，，且，则，夹角的余弦值为．
13．．
14．如图所示，已知点是的重心，过点作直线与、两边分别交于、两点，且，，则；的最小值为．
??
四、解答题
15．已知，，且与的夹角为.
(1)求；
(2)若向量，求实数的值．
16．已知.
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值.
17．如图，在中，已知，是边上一点，，，.
(1)求的值；
(2)求的长；
(3)求的面积.
18．已知函数．
(1)求的周期及在上的值域；
(2)已知锐角中,，且的面积为，，求边上的中线的长．
19．我们知道，三角形中存在诸多特殊位置的点，并且这些特殊点都具备一定的特殊性质.意大利学者托里拆利在研究时发现：在三角形的三边分别向其外侧作等边三角形，这三个等边三角形的外接圆交于一点，该点即称为托里拆利点（以下简称“点”）.通过研究发现三角形中的“点”满足到三角形三个顶点的距离和最小.当的三个内角均小于时，使得的点即为“点”；当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为“点”.试用以上知识解决下面问题:已知的内角所对的边分别为.
(1)若，则
①求；
②若，设点为的“点”，求；
(2)若，设点为的“点”，，求实数的最小值.
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《江苏省南京市六校联合体2024-2025学年高一下学期3月调研考试数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
C
C
C
D
A
B
B
AB
AC
题号
11
答案
AC
1．C
【分析】根据平面向量共线的坐标运算求解即可.
【详解】因为，所以，解得.
故选：C
2．C
【分析】由、，结合已知即可求.
【详解】∵，
∴.
故选：C
3．C
【分析】由投影向量计算公式，可得答案.
【详解】在上的投影向量.
故选：C.
4．C
【分析】利用正弦的两角和差公式即可判断三角形的形状.
【详解】由于，故，从而.
所以是直角三角形，
故选：C.
5．D
【分析】利用两角和差的正弦公式求出，，再结合同角三角函数的基本关系变形求解即可.
【详解】因为，所以，
因为，所以，
解得，，
由同角三角函数的基本关系得，
，故D正确.
故选：D
6．A
【分析】由题意作图，利用正弦和角公式与正弦定理，可得答案.
【详解】由题意可作图如下：
在中，，，，
，
由正弦定理可得，则.
故选：A.
7．B
【分析】利用余弦定理求解即可.
【详解】因为，,
在中，.
故选：B
8．B
【分析】由得，由利用正弦定理边化角结合两角和的正弦求得，进而得，再根据利用两角差的正弦公式结合辅助角公式得到并求值域即可.
【详解】在中，因为，
所以，，所以