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山东省泰安第一中学青年路校区2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知向量，则（????）
A． B． C． D．
2．已知i是虚数单位，复数的实部为（???）
A．0 B．1 C． D．i
3．已知平面向量，且，则（???）
A． B． C． D．1
4．在△ABC中，角A，B，C对边分别为a，b，c，，且，则（???）
A． B． C． D．
5．结合图示，某坡度为的看台上，同一列的第一排和最后一排测得地标建筑顶部的仰角为和，第一排和最后一排的距离为60m，则建筑的高度为（???）
A． B． C．90m D．
6．在中，内角所对的边分别为，已知，，，则（???）
A． B． C． D．
7．已知O是△ABC的外心，，，则△ABC的外接圆半径（???）
A． B． C．2 D．
8．如图，矩形与矩形全等，且，则（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列四个命题中，正确的是（???）
A．若，则A，B，C共线 B．若，则
C．若，则 D．若，，则
10．△ABC中，，解△ABC的结果有两个，则∠A可取下列那些值（????）
A． B． C． D．
11．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（????）
??
A．
B．有可能是的重心
C．若为的外心，则
D．若为的内心，则为直角三角形
三、填空题
12．已知向量，且，，则
13．在中，，，，为的一条高线，则．
14．已知平面向量，，均为非零向量，，且，，则的最小值为.
四、解答题
15．已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值；
(1)z为实数；
(2)z为虚数；
(3)z为纯虚数.
16．已知平面直角坐标系中，O为坐标原点，点，．
(1)C是线段AB上靠近A的三等分点，求点C坐标；
(2)求在上的投影向量（用坐标表示）；
(3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围．
17．已知平行四边形，，，，，．
(1)若，求；
(2)若，求；
(3)若，,的交点记作G，求．
18．某城市有一直角梯形绿地，其中，，，现过边界上的点处铺设一条直的灌溉水管．
(1)如图①，若为的中点，在边界上，求绿地被分成面积相等的两部分时，灌溉水管的长度；
(2)如图②，若在边界上，，求绿地面积的最大值．
19．在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且________，在①；②；③，这三个条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题：
(1)求角A的大小；
(2)若AD是的角平分线，且，，求线段AD的长；
(3)若，判断的形状.
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《山东省泰安第一中学青年路校区2024-2025学年高一下学期3月月考数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
C
D
C
A
B
B
B
ABC
AB
题号
11
答案
AD
1．D
【解析】先求出的坐标，再通过可求出的坐标.
【详解】
又因为，
所以，
故选：D.
【点睛】本题考查向量坐标的线性运算，是基础题.
2．C
【分析】利用复数的乘方运算及复数的概念计算即可.
【详解】易知，所以其实部为.
故选：C
3．D
【分析】根据向量共线的结论求参数的值.
【详解】因为，由，
所以.
故选：D
4．C
【分析】根据余弦定理化简已知条件，求得，利用平方的方法化简，求得，进而求得.
【详解】，
∴，，
∴；
又知，平方可得，
∴，∴.
故选：C
5．A
【分析】在中，利用正弦定理求出，再解即可.
【详解】如图所示，由题意，
则，
在中，因为，
所以，
在中，，
所以建筑的高度为.
故选：A.
6．B
【分析】由正弦定理，角化边，求出，利用余弦定理即可求.
【详解】因为，
所以由正弦定理可得，所以，
又因为，所以，又，
所以由余弦定理.
故选：B
7．B
【分析】首先结合圆的性质可得，则，再利用正弦定理求解可得答案.
【详解】O是△AB