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陕西省汉中市西乡县第一中学2025届高三下学期仿真性考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（???）
A． B． C． D．
2．的虚部为（???）
A．1 B． C．8 D．
3．已知向量满足，且，则（???）
A．3 B． C．7 D．
4．在等差数列中，，，则的公差为（???）
A．1 B．2 C．4 D．8
5．已知表示不同的直线，表示不同的平面，给出下面四个命题:
(1)若，则???(2)若，则;
(3)若，则;?????(4)，则.
上面四个命题正确的有（???）
A．(1)，(3) B．(2)，(4)
C．(1)，(2)，(4) D．(1)，(3)，(4).
6．设为偶函数，当时，，则使的的取值范围是（???）
A． B．
C．或 D．或
7．质数（primenumber）又称素数，一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，则这个数为质数.数学上把相差为2的两个素数叫做“孪生素数”，如：3和5，5和，那么，如果我们在不大于30的正整数中，随机选取两个不同的数，记事件：这两个数都是素数；事件：这两个数是孪生素数，则（????）
A． B． C． D．
8．已知直线与曲线相交于两点，则的最小值为（???）
A． B． C． D．8
二、多选题
9．已知，，则下列等式正确的是（????）
A． B．
C． D．
10．下列结论中，正确的有（???）
A．数据4，1，6，2，9，5，8的第70百分位数为5
B．若随机变量，则
C．若，且，则C，D相互独立
D．根据分类变量X与Y的成对样本数据，计算得到，依据小概率值的独立性检验（），可判断X与Y有关联，此推断犯错误的概率不大于0.001
11．在平面直角坐标系中，把到定点的距离之积等于的点的轨迹称为双纽线.若，点P为双纽线C上任意一点，则（????）
A．C关于x轴对称 B．点在C上
C．直线与C有且仅有两个交点 D．C上存在点P，使得
三、填空题
12．若，则.
13．甲、乙骑自行车同时从地出发，甲沿北偏东54.5°方向做匀速直线运动，去往地，乙沿南偏东50°方向做匀速直线运动，去往地，甲、乙同时达到目的地，甲的速度是乙的速度的两倍，且地与地相距10km，则地与地相距km．（参考数据：取）
14．已知曲线：，第一象限内的点和第二象限内的点都在曲线上，且直线过点．按照如下方式依次构造点（）：过点作曲线的切线与轴交于点，过点作轴的垂线与曲线相交于点，设点的横坐标为．用同样的方式构造点（），设点的坐标为，则数列的前项和为．
四、解答题
15．若数列是等差数列，则称数列为调和数列.若实数依次成调和数列，则称是和的调和中项.
(1)求和的调和中项；
(2)已知调和数列，，，求的通项公式.
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)讨论的单调性；
(3)记的极小值为，证明：．
17．某林业科学院培育了金桔新品种，从该新品种金桔中抽取1000颗，测量它们的重量，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图．
(1)求这1000颗金桔重量的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
(2)由频率分布直方图可以认为，该新品种金桔的质量Z服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差．
①利用该正态分布，求；
②甲购买了100颗该新品种金桔，记X表示这100颗金桔中重量位于区间内的颗数，利用①的结果，求．
附：.若，则，，．
18．如图，已知等腰直角三角形的直角顶点为，斜边的中点为，将沿翻折得，且.
(1)求的长度；
(2)证明：平面；
(3)求二面角的余弦值.
19．由椭圆的两个焦点和短轴的一个顶点组成的三角形称为该椭圆的“特征三角形”.设椭圆的“特征三角形”为，椭圆的“特征三角形”为，若，则称椭圆与“相似”，并将与的相似比称为椭圆与的相似比.已知椭圆与椭圆相似.
(1)求椭圆的离心率；
(2)若椭圆与椭圆的相似比为，当时，求椭圆的方程；
(3)当时，设椭圆的左顶点为，右顶点为，且椭圆过点作两条斜率为的直线分别交椭圆于（异于）两点，设在轴的上方，过点作直线的平行线交椭圆于点，若直线过椭圆的左焦点，求的值.
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《陕西省汉中市西乡县第一中学2025届高