函数单调性和奇偶性专题
知识点精讲：
一、单调性
1、函数得单调性定义:
一、函数单调性得定义及性质
(1)定义
对于给定区间上得函数，如果对任意,当,都有，那么就称在区间上就就是增函数;当,都有,那么就称在区间上就就是减函数、
与之相等价得定义:⑴，〔或都有〕则说在这个区间上就就是增函数(或减函数)。
其几何意义为:增(减)函数图象上得任意两点连线得斜率都大于(或小于）0。
(2)函数得单调区间
如果函数在某个区间上就就是增函数(或减函数），就说在这一区间上具有(严格得)单调性,这一区间叫做该函数得单调区间。如函数就就是增函数则称区间为增区间,如函数为减函数则称区间为减区间。单调性反映函数得局部性质。
一个函数在区间上都就就是增函数,但她在区间上不一定就就是增函数。
(3)判断单调函数得方法:
①定义法,其步骤为:①在该区间上任取,②作差、化积、定号;
②互为反函数得两个函数具有相同得单调性;
③奇函数在对称得两个区间上具有相同得单调性,而偶函数在对称得两个区间上却有相反得单调性;
④复合函数单调性得根据:设都就就是单调函数,则在上也就就是单调函数,其单调性就就是与单调性相同则就就是增函数,单调性相反则就就是减函数。
⑤几个与函数单调性相关得结论:
(ⅰ)增函数+增函数=增函数;减函数+减函数=减函数;
(ⅱ）增函数-减函数=增函数;减函数-增函数=减函数。
⑥如果在某个区间上就就是增函数(或减函数)，那么、、在区间得任意一个子区间上也就就是增函数(或减函数)。
(4)常见一些函数得单调性：
①一次函数,当时,在上就就是增函数;当时,在上就就是减函数、
②反比例函数,当时,在和上都就就是减函数;当时，在和上都就就是增函数、
③二次函数,当，在上就就是减函数,在上就就是增函数；当,在上就就是增函数,在上就就是减函数、
④当时,和在其定义域内为增函数,当，和在其定义域内为减函数。
二、奇偶性
①对于函数得定义域内任意一个,都有〔或〕,则称为奇函数、奇函数得图象关于原点对称。
②对于函数得定义域内任意一个,都有〔或〕,则称为偶函数、偶函数得图象关于轴对称。
③通常采用图像或定义判断函数得奇偶性、具有奇偶性得函数，其定义域原点关于对称(也就就就是说，函数为奇函数或偶函数得必要条件就就是其定义域关于原点对称)
经典例题剖析:（不带答案版）
单调性:
例１、(１）函数f（x)=|x－2|x得单调减区间就就是＿＿__＿_、
(２）函数得单调区间_______;
变式：(1)函数得单调区间为
(２)设函数f（x)=,ｇ（x)＝ｘ2f(x-１),则函数g(ｘ)得递减区间就就是＿＿_＿＿_＿＿、
例２:（1)函数在上单调递减,则实数得范围__＿____;
(2)函数在上单调递增,则实数得范围____＿__＿_。
变式：(1)已知函数f(x）＝ｘ2-2aｘ－3在区间［1,2]上具有单调性,则实数a得取值范围为_＿_＿＿_______＿＿＿_、
(2)函数y=loga(2－aｘ)在［０,1］上就就是减函数,则a得取值范围就就是__＿__＿__、
例３、设函数ｆ(x)定义在实数集上,她得图象关于直线ｘ＝1对称,且当x≥1时，f(x)＝３x－１，则,,之间得大小关系就就是＿__＿___、
例4、定义新运算⊕:当a≥b时,a⊕b＝a;当aｂ时,a⊕b＝ｂ２,则函数f（x)＝(1⊕ｘ)x-(2⊕x）,x∈[-２,２]得最大值等于_＿＿_＿_、
例5:(1)用定义证明在上就就是减函数。
变式:用定义证明函数在上得单调性。
例６:已知函数,常数)、若函数在上为增函数,求得取值范围、
变式:已知函数在区间上就就是增函数，求实数得范围。
例7:设函数,判断在其定义域上得单调性。
例8:求(且)得单调区间。
例9:设为实数,函数,,求得最小值、
奇偶性
例1:判断下列函数得奇偶性:
(１)(２)
(3)(4）(５)
变式:判断函数得奇偶性
①②③④
⑤⑥⑦
例2:已知就就是偶函数，时,,求时得解析式、
变式：已知就就是奇函数,就就是偶函数,且，求、、
例３：若就就是偶函数,且在上增函数,又,求得解集。
例４:(1)定义在上得奇函数就就是减函数,解关于得不等式:。
(2）定义在上得偶函数在上单调递减,且成立,求得取值范围。
变式:(1)定义在上得偶函数,上为增函数，且成立，求得取值范围。
（2）定义在上得奇函数就就是减函数,且成立，求得取值范围。
例5:已知函数对任意都有，并且当时,。
(1)求证:在上就就是增函数；
(2)若,求满足条件得实数得取值范围。
变式