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2024-2025学年河北省唐山市第一中学高一下学期3月考试数学试题
一、单选题
1．设，则（????）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】求复数的模、复数的除法运算、共轭复数的概念及计算
【分析】根据复数除法运算求出，然后由共轭复数概念和复数模公式可得.
【详解】因为，所以，
所以，所以.
故选：C
2．“”是“向量与向量的夹角为钝角”的（???）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【知识点】判断命题的必要不充分条件、由向量共线（平行）求参数、向量夹角的计算
【分析】结合向量的坐标运算令且不反向共线可得.
【详解】若夹角为钝角，则且不反向共线，
则，解得且，
因为是的真子集，
所以“”是“向量与向量的夹角为钝角”的必要不充分条件.
故选：C
3．已知向量满足，且，则向量在向量上的投影向量等于（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】数量积的运算律、垂直关系的向量表示、求投影向量
【分析】根据向量垂直得到，再根据向量数量积运算得，最后利用投影向量计算公式即可得到答案.
【详解】由于，所以，
即，所以，
又，则，
即，所以，
则向量在向量上的投影向量等于：
.
故选：A
4．在中，角所对的边分别为，且，则的形状为（????）
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状
【分析】利用正弦定理及三角恒等变换化简求出角即可得解.
【详解】因为，
所以，即，即，
所以，
在中，，
所以，所以，
所以，
因为，所以，则，
所以，所以为直角三角形，
故选：B．
5．如图，在测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点．现测得，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题
【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可.
【详解】在中，由正弦定理得，则，
在中，，所以.
故选：A
6．在中，内角的对边分别是.若，，则（???）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正弦定理边角互化的应用、余弦定理解三角形
【分析】根据题意利用正弦定理可得，，结合余弦定理运算求解即可.
【详解】因为，由正弦定理可得，
又因为，即，可得，
由余弦定理可得，
且，所以.
故选：A.
7．如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断不正确的是（????）
A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个
C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个
【答案】A
【知识点】向量减法法则的几何应用、向量的线性运算的几何应用、用基底表示向量、平面向量基本定理的应用
【分析】建立坐标系，讨论P点所在位置的不同情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果.
【详解】如图建系，取，
，
动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，
当时，有且，∴，∴，
当时，有且，则，
当时，有且，则，∴，∴，
当时，有且，则，
综上，，
选项A：取，满足，此时，
因此点P不一定是的中点，故A错误；
选项B：若，
当时，，则，点P为B点；
当时，，则，，点P为B点；
当时，，则，点P为的中点，
所以满足的点P有两个，故B正确；
选项C：若，
当时，有，则，，得点P为点；
当时，有，则，点P为点，
所以满足的点P有且只有一个，故C正确；
选项D：若，
当时，有，故，，此时，
当时，有，故，，
此时点P有两个，故D正确；
故选：A.
8．已知平面非零向量，满足，则的最小值为（????）．
A．12 B．24 C．18 D．16
【答案】B
【知识点】由cosx（型）函数的值域（最值）求参数、用定义求向量的数量积、数量积的运算律、基本（均值）不等式的应用
【分析】将已知式左右分别平方，展开整理后，运用基本不等式将其化成能成立问题，即要求的最小值，通过换元，将其化成二次函数，求其在上的最小值即得.
【详解】设向量，的夹角为，则由两边取平方可得，，
即，
可整理为：（*），
因，是非零向量，故，当且仅当时取等号，
不妨设，代入（*）化简得，，
显然，当时，不等式不成立，只需能成立即可，
令，因，故，
则，故，取，
依题意要求函数的最小值，因在递增，则，
故，即的最小值为24，此时，同方向且满足.
故选：B.
【点睛】关键点点睛：关键在于通过已知式两边平方整理后，对的处理，合理方法为运用基本不等式，将方