新余市2023-2024学年度下学期期末质量检测
高一数学试题
考试时间：120分钟试卷总分：150分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．已知集合，，则（）
A． B． C． D．
2．设复数z满足，则（）
A．2i B． C．3i D．
3．已知向量，，则在方向上的投影向量为（）
A． B． C． D．
4．已知某正四棱锥的高为3，体积为64，则该正四棱锥的侧面积为（）
A．48 B．64 C．80 D．144
5．若a，b，c为空间中的不同直线，，，为不同平面，则下列为真命题的个数是（）
①，，则； ②，，则；
③，，则； ④，，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
6．下列说法错误的是（）
A．在中，若，则
B．在锐角中，不等式恒成立
C．在中，若，，则为等腰直角三角形
D．在中，若，，面积，则外接圆半径为
7．已知A为锐角，，，则（）
A． B． C． D．
8．设函数，，，且在区间上单调，则的最大值为（）
A．1 B．3 C．5 D．7
二、多项选择题：（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．）
9．下列说法正确的是（）
A．在任意四边形中，E，F分别为，的中点，则
B．复数（i是虚数单位），则
C．长方体是四棱柱，直四棱柱是长方体
D．直三棱柱的任意两个侧面的面积之和大于第三个侧面的面积
10．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）
A．
B．函数的图象关于直线对称
C．函数图象向左平移个单位可得函数的图象
D．若方程在上有两个不等实数根，，则
11．在棱长为2的正方体中，点M、N分别是线段，上的动点，以下结论正确的是（）
A．平面平面
B．若M是中点，则异面直线与所成角的余弦值为
C．三棱锥的体积为定值
D．的长的最小值为
三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分．请将正确答案填在答题卷相应位置）
12．某校辩论赛小组共有5名成员，其中3名女生2名男生，现要从中随机抽取2名成员去参加外校交流活动，则抽到2名男生的概率为______．
13．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若，D为中点，则______．
14．如图，在三棱锥中，，二面角的余弦值为，若三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为______．
四、解答题（本大题共6小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
15．在中，，，边，上的点M，N满足，，P为中点．
（1）设，求实数，的值；
（2）若，求边的长．
16．文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大受益者，更是文明城市的主要创造者．新余市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，……，得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求频率分布直方图中a的值；
（2）求样本成绩的第75百分位数；
（3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩是65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差．
17．某公司欲生产一款迎春工艺品回馈消费者，工艺品的平面设计如图所示，该工艺品由直角三角形和以为直径的半圆拼接而成，点P为半圆上一点（异于B，C），点H在线段上，且满足．已知，，设，
（1）为了使工艺礼品达到最佳观赏效果，需满足，达到最大．当为何值时，工艺礼品达到最佳观赏效果；
（2）为了工艺礼品达到最佳稳定性便于收藏，需满足，达到最大．当为何值时，取得最大值，并求该最大值．
18．如图，已知等腰梯形中，，，是的中点，，将沿着翻折成，使平面．
（1）求证：平面；
（2）求与平面所成的角；
（3）在线段上是否存在点P，使得平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
19．对于函数，，若存在实数m，n，使得函数，则称为，的“合成函数”．
（1）已知，，试判断是否为，的“合成函数”？若是，求实数m，n的值；若不是，说明理由；
（2）已知，，为，的“合成函数”，且，，若关于x的方程在上有解，求实数k的取值范围；
（3）已知，，为，的“合成函数”（其中，），的定义域为，当且仅当时，取得最小值6．若对任意正实数，，且，不等式恒成立，求实数p的最大值．