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湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期第二次联考（3月）数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．复数，则的虚部为（????）
A．2 B． C． D．
2．已知集合，则（????）
A． B．
C． D．
3．在平行四边形中，是边上靠近点的三等分点，则（????）
A． B．
C． D．
4．已知，则（????）
A．1 B． C．5 D．
5．已知的面积为，则的最小值为（????）
A．2 B． C．4 D．
6．在中，角所对应的边分别是，下列结论正确的是（????）
A．
B．若，则
C．若，则
D．若，则为锐角三角形
7．设均为单位向量，则“”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
8．已知函数，且，则实数的取值范围是（????）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知，则下列结论正确的是（????）
A．若，则
B．若，则
C．若与的夹角为钝角，则且
D．若，则或
10．关于函数，下列结论错误的是（????）
A．最小正周期为 B．最大值为3
C．图象关于直线对称 D．在区间上单调递增
11．函数满足对任意实数，有，且，则下列结论正确的是（????）
A． B．是偶函数
C． D．存在实数使得
三、填空题
12．已知复数满足：，则.
13．在中，角所对的边分别为.若，则.
14．已知函数，若存在两个零点，且，则实数.
四、解答题
15．已知向量.
(1)若，求的坐标；
(2)若，求与夹角的余弦值；
(3)求的最大值.
16．在中，角的对边分别是，且.
(1)求角的大小；
(2)若为的中点，，求的面积.
17．如图，在海岸线一侧有一休闲游乐场.游乐场的前一部分边界为曲线段，该曲线段是函数的图象，图象的最高点为；边界的中间部分为长1千米的直线段，且；游乐场的后一部分边界是以为圆心的一段圆弧.
(1)曲线段上的入口距海岸线的距离为1千米，现准备从入口修一条笔直的景观路到，求景观路的长度；
(2)如图，在扇形区域内建一个矩形休闲区，矩形的一边在海岸线上，一个顶点在半径上，另外一个顶点在圆弧上，求矩形休闲区面积的最大值和此时点的位置.
18．已知函数是偶函数.
(1)求的值；
(2)直接指出函数的单调性（不证明），并解不等式；
(3)证明：方程在有唯一实根，且.
19．对非空整数集合及，定义，对于非空整数集合，定义.注：是指满足且的最小自然数.
(1)设，请直接写出集合；
(2)设，求出非空整数集合的元素个数的最小值；
(3)对三个非空整数集合，若且，求的所有可能取值.
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《湖南省名校联考联合体2024-2025学年高一下学期第二次联考（3月）数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
B
B
B
A
D
B
C
A
ABD
BCD
题号
11
答案
CD
1．B
【分析】根据复数的虚部求得正确答案.
【详解】复数的实部为2，虚部为.
故选：B
2．B
【分析】计算得到集合的等价集合，然后求交集即可.
【详解】，，
又，．
故选：B
3．B
【分析】画出图形，由向量的加法和数乘，结合平面向量的基本定理计算即得.
【详解】如图，
故选：B.
4．A
【分析】先根据诱导公式求出，然后将所求式化弦为切代值计算即得.
【详解】，
则.
故选：A.
5．D
【分析】利用三角形面积公式可得，利用基本不等式可得结果.
【详解】∵的面积为，
∴，
∴，
∴，当且仅当时等号成立.
故选：D.
6．B
【分析】由三角形内角的性质有即可判断A，应用正弦边角关系判断B；若为钝角、为锐角判断C；根据已知只能确定为锐角，但不能确定为锐角三角形判断D.
【详解】由，则，A错；
由，则，结合正弦边角关系得，B对；
由，若为钝角、为锐角，则，C错；
由，则，故，
所以为锐角，但不能确定为锐角三角形，D错.
故选：B
7．C
【分析】根据题意，由向量数量积的运算律代入计算，结合充分条件以及必要条件的定义，即可得到结果.
【详解】若，则，
即，
即，所以，即，所以充分性成立，
若，则，此时，，
所以，即，所以必要性成立，
所以“