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江苏省南京外国语学校学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则“为纯虚数”是“”的（????）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知等差数列的前项和为，若．则数列（????）
A．16 B．18 C．20 D．22
3．如图，空间四边形中，．点在上，且，为的中点，则等于（????）
A． B．
C． D．
4．设，，向量，且，则（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，若函数在上没有零点，则的取值范围是（????）
A． B．
C． D．，
6．在棱长为4的正方体中，分别是棱的中点，过作平面，使得，则点到平面的距离是（????）
A． B． C． D．
7．已知双曲线的左、右焦点分别为，点分别在的左支和右支上，且满足，，，则的离心率为（????）
A． B． C． D．
8．已知函数，，当时，函数的图象始终在函数图象的上方，则实数的取值范围为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（????）
A．的最小正周期为 B．的图象关于点对称
C．不等式无解 D．的最大值为
10．已知抛物线的焦点为，过点的直线与交于两点，是的准线与轴的交点，则下列说法正确的是（????）
A．若，则直线的斜率为
B．
C．（为坐标原点）
D．当取最小值时，
11．在棱长为2的正方体中，在线段上运动（包括端点），下列说法正确的有（???）
A．存在点，使得平面
B．不存在点，使得直线与平面所成的角为
C．的最小值为
D．以为球心，为半径的球体积最小时，被正方形截得的弧长是
三、填空题
12．已知是空间的一组基底，其中，，．若四点共面，则．
13．如图，二面角的棱上有两个点，线段与分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱，若，则二面角的余弦值为.
??
14．已知不等式对任意的实数x恒成立，则的最大值为.
四、解答题
15．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．
(1)求B；
(2)若点D在AC边上，满足，且，，求的值．
16．已知函数．
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有极小值，且的极小值小于，求实数的取值范围．
17．已知数列和满足.记数列和满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)记数列的前项和为，求.
18．如图，在四棱锥中，底面是菱形，，为等边三角形，点M，N分别为AB，PC的中点．
(1)证明：直线平面PAD；
(2)当二面角为120°时，求直线MN与平面PCD所成的角的正弦值．
19．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为、，点、为椭圆上异于、的两点，面积的最大值为．
(1)求椭圆的方程；
(2)设直线，的斜率分别为，，且．
①求证：直线经过定点．
②设和的面积分别为，，求的最大值．
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《江苏省南京外国语学校学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
B
C
B
D
A
D
BD
ABD
题号
11
答案
BCD
1．A
【分析】根据充分不必要条件的定义及复数的相关概念可确定选项.
【详解】当为纯虚数时，设，则，
∴.
当时，可取，则为纯虚数不成立.
综上得，“为纯虚数”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
2．D
【分析】由等差数列下标和性质及求和公式即可求解；
【详解】由，
可得：，
，，
故选：D.
3．B
【分析】利用空间向量的线性运算结合空间向量基本定理求解即可.
【详解】利用中，，，
所以．
故选：B．
4．C
【分析】利用空间向量的坐标运算来表示向量垂直与共线，即可求解参数，再用空间向量的坐标运算去求模即可.
【详解】设、，向量，且，
，解得，
又因为，所以，解得，
所以，
故选：．
5．B
【分析】通过伸缩平移得到，再通过函数在上有零点，得到，求其补集即可；
【详解】解：将函数的图象先向右平移个单位长度，得到的图象，
再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到的图象