（16）图形的相似与位似（知识精炼）
——中考数学一轮复习考点精炼与综测
重难讲解
1.四条线段成比例：对于四条线段，如果其中两条线段的比（即它们长度的比）与另两条线段的比相等，如（即），我们就说这四条线段成比例.
【注意】
（1）成比例线段是有顺序的，即若是成比例线段，则（或），不能写成.
（2）在运用计算时，通常情况下，四条线段的长度单位要一致，但有时为了计算方便，的长度单位一致，的长度单位一致也可以.
2.黄金分割线
在线段上，点把线段分成两条线段和（），如果，那么称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，黄金比为，线段有两个黄金分割点和.
3.平行线分线段成比例的基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.
几何语言：如图，直线，直线被直线，，所截，那么
，可简记为：.
【注意】（1）对应线段成比例是指同一条直线上的两条线段的比，等于另一条直线上与它们对应的线段的比，书写时，要把对应线段写在对应的位置上.
（2）基本事实中的“所得的对应线段”是指被截直线上的线段，与这组平行线上的线段无关.
4.相似三角形的判定
①利用平行线判定两个三角形相似的定理
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
几何语言：如图所示，，.
②利用两边和夹角判定两个三角形相似的定理
定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,且，.
【注意】应用该定理判定两个三角形相似时，相等的角必须是成比例的两边的夹角.
③应用三边判定两个三角形相似的定理
定理：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，，.
【注意】利用三边成比例判定两个三角形相似时，一定要注意边与边之间的对应关系，主要根据最长边与最长边对应，最短边与最短边对应的思路找对应边.
④利用两角判定两个三角形相似的定理
定理：两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言：如图所示，在和中，,.
【注意】利用此定理证明两个三角形相似的关键是找相等的角.如公共角、对顶角、同角（等角）的余角（补角）、同弧所对的圆周角等都是相等的角，解题时要注意挖掘题目中的隐含条件.
5.相似三角形的性质
①根据三角形相似的定义可知，相似三角形的对应角相等，对应边成比例.
②相似三角形对应线段的性质：相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.即相似三角形对应线段的比等于相似比.
③相似三角形周长的比等于相似比.
④相似三角形面积的比等于相似比的平方.
6.位似
定义
两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，对应边互相平行（或在同一直线上），像这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心.
性质
（1）位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于相似比；
（2）位似图形对应点的连线或延长线相交于一点；
（3）位似图形对应边平行（或在同一条直线上）；
（4）位似图形对应角相等；
（5）在平面直角坐标系中，如果原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标比等于±k
作图步骤
确定位似中心；确定原图形中各顶点关于位似中心的对应点；描出新图形
基本图形
延伸拓展
1.比例的相关性质：
（1）基本性质：若，则.
（2）合比性质：若，则.
（3）分比性质：若，则.
（4）等比性质：若，则.
2.平行线分线段成比例的基本事实应用在三角形中的结论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
几何语言：如图，，或或.
3.相似三角形的常见模型
（1）A字型——有一个公共角
类别
已知
为公共角，
为公共角，或
方法
判定思路①
判定思路②
表示
（2）8字型——有一组对顶角
模型
已知
与为对顶角，
与为对顶角，或
方法
判定思路①
判定思路②
表示
（3）母子型——有一个公共角且该角的一边为公共边
模型
已知
为公共角，或
为公共角，，
方法
判定思路②
判定思路②或④
表示
或
（4）一线三等角型——三个角相等且这三个角的顶点在同一条直线上
模型
已知
方法
判定思路②（根据三角形的内角和及同角的余角相等求证另一组等角）
表示
解题方法
1.解相似三角形的判定问题
相似三角形的判定方法：
（1）平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.这是判定两个三角形相似的最基本的一个定理.（2）两个三角形相似的判定定理：①三边成比例的两个三角形相似；②两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；③两角分别相等的两个三角形相似.
判定两个三角形相似需要根据条件选择方法.有时条件不具备，需从以下几个方面探求：
（1）条件中若有平行线，可考虑用平行线直接推出相似三角形；
（2）两个三角形中若有一组等角，可再找一组等角，或再找夹这