初中数学竞赛精品原则教程及练习(39）
线段、角相等关系
一、内容提纲
证明线段、角相等,在直线形中,最常用措施是找全等三角形或等腰三角形，若没有现成,则要引辅助线,构造全等三角形或等腰三角形。
构造全等三角形，要充足运用已知条件中对应相等关系,添引辅助线要有助于增长对应相等元素,要注意总结辅助线规律,观测两个三角形全等时一般位置特点（如翻转、旋转、平移等）
证明两条线段相等常用定理
在同一种三角形中，证明等角对等边。
在两个三角形中,证明全等。
在平行线图形中①应用平行四边形性质
②用平行线等分线段定理
４.运用比例式证明相等：若则x=y;若则x＝y
5．应用等量代换、等式性质
二.证明两个角相等常用定理
1.在同一种三角形中，证明等边对等角。
2.在两个三角形中,证明全等或相似。
3.在平行线图形中
用平行四边形对角相等
行线同位角相等,内错角相等
边分别互相平行（或垂直）两个锐角(或两个钝角)相等
角（或等角)余角（或补角）相等
用等量代换、等式性质
二、例题
例1．证明等腰梯形鉴定定理“同一底上两个角相等梯形是等腰梯形”
已知:梯形ABＣD中，AB∥CD,∠A=∠B
求证:AＤ=BC
下面提供三种基本证法：
把BC、AD集中到同一种三角形,证它等腰三角形。
辅助线是：过点D作DＥ∥ＢC,咱们称它为“平移”
∵BCＤＥ是平行四边形，可证△DAE为等腰三角形
以BC、AD为对应边，构造两个全等三角形,为增长对应相等元素，辅助线为：作两条高ＣM和DＮ，根据夹在平行线间平行线段相等，可用角角边证全等。
由∠Ａ＝∠B，可造等腰三角形，运用比例式性质证明,辅助线是:分别延长AD和BC交于P。P
DCDCDC
AＥBAＮMBAＢ
例2.已知:在梯形ＡBCD中,ＡＢ∥ＣD,AC和ＢD相交于O,AD、BC延长线相交于P
求证：PＯ平分AB
证明:设PO延长线交AB于E，交ＣD于F
∵ＡB∥CD
∴＝=①＝=②
①×②得
∴ＡＥ2＝BＥ２∵AE＞0，BＥ＞0
∴ＡE＝BＥ,即PＯ平分AB
例３．已知：△ＡＢＣ中，AC=３AB，AＦ是∠Ａ平分线,
过点C作CD⊥ＡF,D是垂足
求证：ＡD被BＣ平分A
证明:以AD为轴作△ADC对称三角形ADEB
那么DE=DＣ,AE＝ＡＣ＝3AB，BE=2AＢGF
取BE中点G,连结DGEC
则DG∥BC，∵AＢ=BＧＤ
∴ＡＦ=FD，即AD被BC平分
例４.已知：在△ABC中,分别以AＢ、ＡC为斜边作等腰直角三角形AＢM，和CAN,P是边BC中点
求证:PM＝PＮ
证明：取AB中点Ｑ,ＡC中点R
连结PQ，ＰR,ＭQ，NＲ
PＱ∥AC，ＰQ=AＣ＝NＲ
PR∥AＢ,ＰＲ＝ＭQ
∠PQＭ＝∠ＰＲN(两边分别垂直)
∴△PQM≌△NRP，PM＝PＮ
例5.已知：四边形AＢCD中AD=BC，E,F分别是ＡＢ、CD中点,
延长AD，BC和EF延长线分别交于Ｇ，H
求证：∠AGE=∠BHE
证明：连结AC,取ＡC中点Ｐ，连结ＰE,PF
∵ＰE是△ABC中位线,
∴PＥ∥BＣ,PE=BC，
同理PF∥AD,PＦ=AD
∴∠PEF＝∠BHＥ,∠PFE=∠ＡGE
∵AＤ=ＢC，∴PE=PＦ,∠PＥF=∠PFE
∴∠ＡGE=∠BＨE
例6.已知：△AＢC中，∠Ａ=Rｔ∠，点O是正方形ＢCDE对角线交点
求证:AO是∠A平分线
证明：过点O作OF⊥OＡ交ＡC延长线于Ｆ
∵∠AＢＣ，∠FCO都是∠AＣO补角
∴∠ABC＝∠FCO
∵∠AOＢ,∠FOC都是∠AOC余角
∴∠ＡOB＝∠ＦOC
又∵OＢ=OC
∴△ＡBO≌△FCO
∴AO=FO,∠F＝∠ＯAF=4５
∴AＯ是∠Ａ平分线
（△FCＯ是△A