竞赛试题选讲之六:立体几何
一、选用题某些
１.(吉林初赛）正方体ABCD-A1B１C１D１中,过顶点Ａ1作直线l,使ｌ与直线AC
线BC1所成角均为６０°，则这样直线l条数为（C）
Ａ.1Ｂ.2Ｃ.３Ｄ.不不不小于3
2.（陕西赛区初赛)如图2，在正方体中,P为棱ＡＢ上一点，过点Ｐ在空间作直线l,使ｌ与平面ABCＤ和平面AB均成角,则这样直线l条数为(B）
A．1Ｂ.2C.3
3.(集训试题)设Ｏ是正三棱锥P－ABＣ底面是三角形ABＣ中心，过Ｏ动平面与PC交于Ｓ,与PA、PＢ延长线分别交于Q、R,则和式 （)
?A.有最大值而无最小值 ? ? B．有最小值而无最大值
?C.既有最大值又有最小值,两者不等?
D.是一种与面QPS无关常数
解：设正三棱锥Ｐ-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β,则ｖS-PQR＝S△PQR·h=PQ·ＰＲsｉｎα)·PＳ·siｎβ。另首先，记O到各面距离为d,则vS-PQR=vＯ-PQR+ｖＯ-ＰRＳ＋ｖO-PQS，S△PＱR·d＝△ＰRＳ·ｄ+Ｓ△ＰRＳ·d+△PＱＳ·d=PQ·PＲsｉnα+ＰS·PRsｉnα+ＰQ·PＳ·siｎα,故有：PQ·ＰＲ·PS·sinβ=ｄ（PＱ·PＲ＋ＰＲ·PS+PQ·PS),即=常数。故选Ｄ。
4．（江苏)过空间一定点直线中，与长方体1２条棱所在直线成等角直线共有(C）
?A.0条 B．1条 C．4条?D．无数多条
5.(天津）已知为四面体侧面内一种动点，且点与顶点距离等于点究竟面距离,那么在侧面内，动点轨迹是某曲线一某些,则该曲线一定是? ?（D）
??A.圆或椭圆?? Ｂ.椭圆或双曲线
??C．双曲线或抛物线 ? D.抛物线或椭圆
6.（南昌市)四棱锥底面是单位正方形(按反时针方向排列),侧棱垂直于底面,且＝,记,则＝（C)
?Ａ． B.?C. D.
7．（浙江）正方体截平面不也许是：(1)钝角三角形(2）直角三角形(3）菱形(4)正五边形(5)正六边形；下述选项对的是(B)
A．(1)(2)(5) B．（１）(2)(4)?C.(２)（3）(４) D.（3)(4）（5)
【解】正方体截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形，但不也许是钝角三角形，直角三角形(证明略）;对四边形来讲,可以是梯形（等腰梯形）、平行四边形、菱形，矩形、但不也许是直角梯形(证明略）;对五边形来讲,可以是任意五边形,不也许是正五边形(证明略）；对六边形来讲，可以是六边形（正六边形）。
选【B】
8．(）如图，为正方体。任作平面与对角线垂直，使得与正方体每个面均有公共点,记这样得到截面多边形面积为S，周长为.则（)
A．S为定值,不为定值 B．S不为定值,为定值
C.S与均为定值 Ｄ．S与均不为定值
解:将正方体切去两个正三棱锥后，得到一种以平行平面为上、下底面几何体V，V每个侧面都是等腰直角三角形，截面多边形W每一条边分别与Ｖ底面上一条边平行，将Ｖ侧面沿棱剪开,展平在一张平面上,得到一种
,而多边形Ｗ周界展开后便成为一条与平行线段（如图中)，显然，故为定值．
?当位于中点时，多边形W为正六边形，而当移至处时,W为正三角形，易知周长为定值正六边形与正三角形面积分别为与，故S不为定值。选B．
9.（浙江省）在正边形中,与所有边均不平行对角线条数为（C)
?Ａ． B． Ｃ. Ｄ..
解:正２ｎ边形，对角线共有条.
计算与一边平行对角线条数，因,与平行对角线端点只能取自2n－4个点，平行线共n-2条。故与某一边平行对角线共n(ｎ－2)条。由此可得与任何边都不平行对角线共有n(２ｎ-3)－ｎ(ｎ-2）=ｎ(n-1)条。因而对的选项是C.
1,3,510．(四川）如图,一种立方体，它每个角都截去一种三棱锥,变成一种新立体图形。那么在新图形顶点之间连线中,位于原立方体内部有1２0条.
1,3,5
解:据题意新立体图形中共有24个顶点,每两点连一条线，
?共，其中所有棱都在原立方体表面,
有36条.原立方体每个面上有８个点，除去棱以外,还可以
连条,6个面共120条都在原立方体表面，除此
之外直线都在原立方体内部.
1,3,51,3,5二、填空题某些
1,3,5
1,3,5
1.(南昌市)棱长为1正四面体在水平面上正投影面积为,则最大值为__.
2．（天津）在一种棱长为5正方体封闭盒内，有一种半径等于1小球,若小球在盒内任意地运动,则小球达不到空间体积大小等于