二级结论集锦word（珍贵资料）
目录TOC\o1-3\h\z\u
一、阿波罗尼斯圆 3
二、矩形大法 3
三、极化恒等式 4
四、奔驰定理 5
五、等和线法 5
六、中线长定理 6
七、托勒密定理 6
八、倍角定理 7
九、射影定理 8
十、海伦公式 8
十一、三正切公式tanAtanBtanC=tanA+tanB
十二、正弦平方差公式 10
十三、函数周期性 10
十五、函数对称性 11
十六、琴生不等式 13
十七、地位等价法 14
十八、判别式与三角换元 14
十九、拉格朗日数乘法 17
二十、拉格朗日中值定理 17
二十一、切比雪夫线 19
二十二、权方和不等式 20
二十三、三视图穿线法 21
二十四、法向量叉乘法 22
二十五、最小角定理 22
二十六、球的垂面模型 24
二十七、球的折面模型 24
二十八、球的顶点模型 26
二十九、函数同构法 26
三十、端点效应 27
三十一、必要探路 30
三十二、局部最值 32
三十三、放缩大法 33
三十四、二阶导 37
三十五、焦点弦定理 39
三十六、顶底角公式 40
三十七、焦半径公式 41
三十八、圆曲第三定义 45
三十九、轨迹方程之平和法 47
一、阿波罗尼斯圆
定义：若一动点P到两定点A、B之间的距离之比为定值λ，即PAPB
1.已知F1?3，0，F23
解：设Px，y，由PF1=2PF2可得x+32+y2=4x?32+
2.(2018年四川绵阳二诊)在△ABC中，AB=4
解：设A?2，0，B2，
二、矩形大法
(1)已知点M为矩形ABCD所在平面内任意一点，M
(2)已知点P为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，P
1.(2012年江西理数第7题)在Rt△ABC中，D为斜边AB的中点，P为CD
解：构矩形ACBE，D为AB中点，P为
PA
2.已知点P为矩形ABCD所在平面上一点，若PA=1
解：由PA2
3.(高考真题)若已知在平面上，AB1⊥AB2
解：由AB1
三、极化恒等式
a
平行四边形中，AB
三角形中D为BC中点，AB?
AD
1.(2014年全国Ⅱ理数)设向量a，b满足a+
解：a
2.(2017年全国Ⅱ卷理数第12题)等边△ABC边长为2，P平面ABC
解：设BC中点为M，AM
PA
3.(2016年江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上两个三等分点，BA?CA=4
(答案：78
四、奔驰定理
定义：若O为△ABC内一点，xOA+y
(1)AO
(2)S
(3)S
1.若O为△ABC内一点，OA+2OB+3
解：由奔驰定理得S△OBCS△
2.M为△ABC内一点，5AM=AB
解：由奔驰定理得S
五、等和线法
共线定理：PA=λPB+μPC，若A，
等和线：直线A1B1//AB，点P为直线A1B1上任一点，设OP=λOA+μOB，λ+μ=m，m=
1.(2017年全国Ⅲ理)在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与
过点P作PG//BD交AD的延长线于点
λ
当PG与圆相切时，切点为E，
六、中线长定理
在△ABC中，设角A、B、C所对的边为a
AD
证明：利用两角余弦值相加为0即可证明.
1.(2020江苏如帛中学二模填空压轴)在△ABC中，若CD是边AB上的中线，且CD=CA
解：由“中线长定理”可得2
b
2.在△ABC中，D为BC中点，A=π3，
解：由cos∠ADB
36
由余弦定理得bc
联立可得36=b
七、托勒密定理
圆内接四边形中，两条对角线的乘积等于两组对边乘积之和AB
广义的托勒密定理：在四边形ABCD中，有AB?
例1(托勒密定理)在圆内接四边形ABCD中，AC=8，
解：设AB=
2x
即2CD+BC=8
例2(广义托勒密定理)：在平面四边形ABCD中，AB=1，
解：设BC=x
由托勒密定理AB?CD
八、倍角定理
b
1.在锐角△ABC中，A=2B
A.4
B.3
C.10
D.5
解：ab=2cos
当其为直角三角形时，b=3，a
九、射影定理
a
1.在△ABC内，
c
(1)(2017年全国Ⅱ文数16)△ABC内，2bcos
解：由射影定理易知B
(2)(2014年广东理数12题)在△ABC内，bcos
解：由bcosC
2.在△ABC内，BD为斜边AC上的高，∠ABC=
B
A
B
十、海伦公式
S
1.在△ABC中，∠B=∠
解：易知p
S
当且仅当83
2.已知△ABC的面积为S，且△ABC的三边满足4a