第05讲解题技巧专题：利用等腰三角形的三线合一作辅助线与构造等腰三角形的解题技巧
目录
TOC\o1-1\h\u【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】 1
【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】 8
【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】 19
【考点四过腰或底作平行线构造等腰(边)三角形】 23
【考点五巧用“角平分线+垂线合一”构造等腰三角形】 28
【考点六利用倍角关系构造新等腰三角形】 33
【考点一等腰三角形中底边有中点时，连中线】
模型解析：等腰三角形中底边有中点，连中线
直接用“三线合一”，①AB=AC;②AD⊥BC;③BD=DC;④∠1=∠2.知2推2原则。
连中线用“三线合一”，若AB=AC,BD=CD.则AD⊥BC，∠1=∠2.
例题：（23-24八年级下·全国·单元测试）如图，在中，，，为边的中点，点、分别在射线、上，且，连接．
(1)如图1，当点、分别在边和上时，连接，
①证明：．
②直接写出，和的关系是：
(2)探究：如图2，当点E、F分别在边、的延长线上时，，和的关系是：
(3)应用：若，，利用上面探究得到的结论，求的面积．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·江苏宿迁·期中）如图，根据下列已知条件，写出你能得到的结论．
（1）已知，，则；
（2）已知，则；
（3）已知，则．
3．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，在中，，，为的中点，于点，，求的长．
4．（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，，点P为边的中点，于点D．
(1)求的度数；
(2)求证：．
5．（23-24七年级下·山东·期末）【探究1】
如图①，在中，，AD是中线，若，则的度数为_______；
【探究2】
如图②，在和中，，，AD，分别为和的中线，若，，则的度数为______；
【探究3】
如图③，在和中，，，AD，分别为和的中线，AD与交于点，若，则的度数为_______．
【考点二等腰三角形中底边无中点时，作高】
例题：（2023上·福建厦门·八年级厦门一中校考期中）如图，已知，点在边上，，点在边上，，若，求的长．
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【变式训练】
1．（23-24八年级上·吉林·阶段练习）有一个等腰三角形模型（示意图如图所示），它的顶角为，腰长为12m，则底边上的高是m．
2．（23-24八年级上·浙江宁波·期末）（1）如图1所示，在中，，，，求证．
（2）如图2所示，在中，，，延长至使，求．
3．如图，点，在的边上，，．
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，当时，过点作于点，如果，求的值．
4．（24-25八年级上·辽宁大连·期中）如图，在等边中，点在边上，点在延长线上，且．
(1)求证：；
(2)若等边的边长为6，求的长；
(3)求证：；
(4)如图，当点在的延长线上，点在延长线上时，其它条件不变，（3）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
5．在中，，过点C作射线，使（点与点B在直线的异侧）点D是射线上一动点（不与点C重合），点E在线段上，且．
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(1)如图1，当点E与点C重合时，与的位置关系是，若，则的长为；（用含a的式子表示）
(2)如图2，当点E与点C不重合时，连接．
①用等式表示与之间的数量关系，并证明；
②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．
【考点三利用平行线+角平分线构造等腰三角形】
模型分析：由平行线得到内错角相等，由角平分线得到相等的角，等量代换进行解题．平行线、角平分线及等腰，任意由其中两个条件都可以得出第三个。（简称：“知二求一”，在以后还会遇到很多类似总结）。
平行四边形中的翻折问题就常出现该类模型。
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图1图2图3
条件：如图1，OO’平分∠MON，过OO’的一点P作PQ//ON.结论：△OPQ是等腰三角形。
条件：如图2，△ABC中，BD是∠ABC的角平分线，DE∥BC。结论：△BDE是等腰三角形。
条件：如图3，在中，平分，平分，过点O作的平行线与，分别相交于点M，N．结论：△BOM、△CON都是等腰三角形。
例题：（2024八年级上·全国·专题练习）已知如图中，，平分，平分，过作直线平行于，交，于，．
(1)求证：是等腰三角形；
(2)求的周长．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·湖北襄阳·期中）如图，在中，，平分交于点D．过点A作，交的延长线于点E．
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(1)求的度数；
(2)求证：是等腰三角形；
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