第3讲长方体和正方体
知识点一：长方体和正方体的认识
1.长方体一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形。
2.在一个长方体中，相对的面完全相同，相对的棱长度相等。
3.长方体的特征：长方体有6个面，都是长方形（有时相对的两个面是正方形），相对的面形状相同、面积相等；长方体有12条棱，相对的棱长度相等；长方体有8个顶点。
4.正方体的特征：正方体是由6个完全相同的正方形围成的立体图形；正方体有12条棱，12条棱的长度都相等；正方体有8个顶点。
5.长方体、正方体的展开图：长方体和正方体展开图的形状不是单一的，要根据具体展开方法来看。
知识点二：长方体和正方体的表面积计算
1.长方体表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2=(长×宽＋长×高＋宽×高)×2。
2.正方体表面积=棱长×棱长×6。
知识点三：长方体和正方体的体积计算
1.物体所占空间的大小叫做物体的体积。
2.计量体积要用体积单位，常用的体积单位有立方厘米、立方分米和立方米，可以分别写成cm3、dm3和m3。
3.长方体体积=长×宽×高，V=abh。
4.正方体体积=棱长×棱长×棱长，V=a3。
5.长方体（或正方体）的体积=底面积×高，V=Sh。
6.相邻的两个体积单位之间的进率是1000。1dm3=1000cm3，1m3=1000dm3。
7.在解决有关体积的实际问题时,要看清已知条件的单位是否统一,如果不统一,要先统一单位,再进行计算。
8.箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,叫作它们的容积。
9.计量容积,一般用体积单位;液体的体积,常用容积单位L和mL。
10.1升=1立方分米，1毫升=1立方厘米，1升=1000毫升。
11.测量不规则物体的体积,通常采用排水法,即利用有刻度的量筒或量杯,记录下放入不规则物体前后水位的刻度,上升的那部分水的体积就是不规则物体的体积。
考点一：长方体和正方体的认识
例1．把12盒同样的儿童牙膏用丝带捆在一起。
（1）至少需要80厘米的丝带。（丝带接头处忽略不计）
（2）如果一行摆4盒，摆3行，会更节省丝带。
【分析】（1）根据图示，牙膏盒的宽和高都是5厘米，上下两层各有6个5厘米，前后面各有2个5厘米，据此计算解答；
（2）要想更节省丝带，那么就让牙膏的行数与盒数越接近，越用的丝带少。
【解答】解：（1）6×5×2+2×5×2
＝60+20
＝80（厘米）
答：至少需要80厘米的丝带。
（2）4×5×2+3×5×2
＝40+30
＝70（厘米）
答：如果一行摆4盒，摆3行，会更节省丝带。
故答案为：80；4，3。
【点评】此题主要考查长方体的特征和观察物体的角度及观察的范围。
1．一个长方体的盒子，宽增加3厘米就变成一个正方体，这时表面积增加96平方厘米。原来这个长方体盒子的体积是多少？
【分析】根据题意可知，一个长方体如果高增加3厘米，就变成了一个正方体；说明长和宽相等且比高大3厘米，因此增加的96平方厘米是4个同样的长方形的面积和；由此可以求长方体的长＝96÷4÷3＝8厘米，由于长比高多3厘米，那么高＝8﹣3＝5厘米，由此再利用长方体的体积＝长×宽×高解答。
【解答】解：96÷4÷3＝8（厘米）
8﹣3＝5（厘米）
8×5×8＝320（立方厘米）
答：这个长方体盒子的体积是320立方厘米。
【点评】此题解答关键是求出长方体的长、宽，进而求出高；然后利用长方体的体积计算公式解答即可。
2．小学阶段，我们学习了很多有联系的数学知识。比如正方体是特殊的长方体，可以将它们的关系用集合图表示（如图1）。
一些平面图形之间的关系也可以用集合图来表示，请你将下列图形的名称填在集合图相应的横线上。（只需要填写字母）
A.正方形
B.梯形
C.三角形
D.平行四边形
E.长方形
【分析】多边形是指由多条边组成的图形，包括三角形、四边形、五边形等；
四边形包括梯形、平行四边形等；
平行四边形包括长方形、菱形等；
正方形是特殊的长方形，据此解答。
【解答】解：
【点评】本题考查了一些平面图形的特征，重点是知道正方形是特殊的长方形。
3．用丝带捆扎一个长25cm，宽20cm，高10cm的长方体礼盒．打结处长40cm．捆扎这个礼盒至少需要多少长的丝带？
【分析】根据题意和图形可知，所需彩带的长度等于两条长+两条宽+4条高+打结用的长度，由此列式解答．
【解答】解：25×2+20×2+10×4+40
＝50+40+40+40
＝170（厘米），
答：捆扎这个礼品盒至少需要170厘米长的丝带．
【点评】此题属于长方体的棱长总和的实际应用，解答关键是弄清是如何捆扎的，也就是弄清是求哪些棱的长度和．
考点二：长方体和正方体的表面积计算
例2．将一个棱长为6cm的正方体熔铸成一个长为12c