立体几何讲义
题型考点大突破
基础强化提升
知识梳理巩基础
选题经典重思路
考点题型全覆盖
举一反三大突破
题型考点大突破之立体几何讲义
目录
第一章立体几何中空间线、面位置关系的判定2
第二章平面图形折叠问题的求解方法19
第三章立体几何中平行与垂直的证明问题28
第四章利用空间向量证明平行与垂直问题39
第五章立体几何中的截面问题44
第六章立体几何中的面积与体积问题48
第七章立体几何中的内切球与外接球78
第八章立体几何中空间角的计算107
第九章立体几何中的建系设点问题116
第十章利用空间向量计算线面角的问题128
第十一章利用空间向量计算二面角的问题138
第十二章利用空间向量计算空间角的综合问题151
第十三章立体几何中的点面距离问题159
第十四章利用空间向量计算距离的问题165
第十五章立体几何中的探索性问题169
第十六章利用空间向量解决立体几何中的探索性问题180
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第一章立体几何中空间线、面位置关系的判定
知识梳理
1．直线、平面平行的判定及其性质
(1)线面平行的判定定理：a?α，b?α，a∥b?a∥α．
(2)线面平行的性质定理：a∥α，a?β，α∩β＝b?a∥b．
(3)面面平行的判定定理：a?β，b?β，a∩b＝P，a∥α，b∥α?α∥β．
(4)面面平行的性质定理：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b?a∥b．
平行问题的转化
利用线线平行、线面平行、面面平行的相互转化解决平行关系的判定问题时，一般遵循从“低维”到“高
维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而应用性质定理时，其顺序正好相反．在实
际的解题过程中，判定定理和性质定理一般要相互结合，灵活运用．
平行关系的基础是线线平行，证明线线平行常用的方法：一是利用平行公理，即证两直线同时和第三
条直线平行；二是利用平行四边形进行平行转换：三是利用三角形的中位线定理证线线平行；四是利用线
段的比例关系证明线线平行；五是利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换．
2．直线、平面垂直的判定及其性质
(1)线面垂直的判定定理：m?α，n?α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n?l⊥α．
(2)线面垂直的性质定理：a⊥α，b⊥α?a∥b．
(3)面面垂直的判定定理：a?β，a⊥α?α⊥β．
(4)面面垂直的性质定理：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β．
垂直问题的转化
在空间垂直关系中，线面垂直是核心，已知线面垂直，既可为证明线线垂直提供依据，又可为利用判
定定理证明面面垂直作好铺垫．应用面面垂直的性质定理时，一般需作辅助线，基本作法是过其中一个平
面内一点作交线的垂线，从而把面面垂直问题转化为线面垂直问题，进而可转化为线线垂直问题．
垂直关系的基础是线线垂直，证明线线垂直常用的方法：一是利用等腰三角形底边中线即高线的性质；二
是利用勾股定理；三是利用线面垂直的性质：即要证两线垂直，只需证明一线垂直于另一线所在的平面即
可，l⊥α，a?α?l⊥a．