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湖北省沙市中学2025届高三下学期5月高考模拟数学试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，，则（????）
A． B． C． D．
2．设，向量，且，则（????）
A． B． C． D．
3．若，，则（???）
A． B． C． D．
4．在正三棱台中，，，与平面ABC所成角为，则该三棱台的体积为（????）
A． B． C． D．
5．如图中，图象对应的函数解析式为（????）
A． B．
C． D．
6．设是数列的前n项和，且，，则（???）
A． B． C． D．
7．已知为坐标原点，直线过抛物线的焦点，与及其准线依次交于三点（其中点在之间），若，,则的面积是（????）
A． B． C． D．
8．对于函数与，若存在，使，则称，是与图象的一对“隐对称点”．已知函数，，函数与的图象恰好存在两对“隐对称点”，则实数的取值范围为（???）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列选项正确的是（???）
A．若随机变量，则
B．若随机变量，则
C．若随机变量服从分布，且，则
D．若随机变量满足，则
10．已知函数的定义域为，的导函数为，，，当时，，则（???）
A．为偶函数 B．的图象关于点中心对称
C． D．
11．曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为.若点在曲线上，，则（????）
A．当在第一象限时，
B．当在第四象限时，
C．直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于6
D．直线与曲线恰有4个公共点
三、填空题
12．的展开式中的系数为（用数字作答）
13．已知，，若对任意，都存在，使得，则实数a的取值范围为.
14．如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为．
四、解答题
15．在中，内角所对的边分别为．已知．
(1)求角的大小；
(2)若的角平分线与边相交于点，，求的周长．
16．如图，在四棱锥中，平面，，点M在棱PC上．
??
(1)当M为PC上靠近点P的四等分点时，求证：平面；
(2)若直线与平面所成的角为45°，当M为PC的中点时，求二面角的余弦值．
17．某运动员为了解自己的运动技能水平，记录了自己1000次训练情况并将成绩（满分100分）统计如下表所示.
成绩区间
频数
100
200
300
240
160
(1)求上表中成绩的平均值及上四分位数（同一区间中的数据用该区间的中点值为代表）；
(2)该运动员用分层抽样的方式从的训练成绩中随机抽取了6次成绩，再从这6次成绩中随机选2次，设成绩落在区间的次数为X，求X的分布列及数学期望；
(3)对这1000次训练记录分析后，发现某项动作可以优化.优化成功后，原低于80分的成绩可以提高10分，原高于80分的无影响，优化失败则原成绩会降低10分，已知该运动员优化动作成功的概率为．在一次资格赛中，入围的成绩标准是80分.用样本估计总体的方法，求使得入围的可能性变大时p的取值范围.
18．已知函数.
(1)求证：.
(2)若，，为的最大值，
（i）求的极小值；
（ii）设，，求证：.
19．已知椭圆E的标准方程为：，在这个椭圆上取个点，这些点的坐标分别为，连接．
(1)若直线的斜率为，求椭圆E的离心率；
(2)证明的面积为定值，并求多边形的面积（用n表示）；
(3)若，线段的中点为M，证明：．
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《湖北省沙市中学2025届高三下学期5月高考模拟数学试卷》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
C
D
B
B
D
ABD
AB
题号
11
答案
BC
1．A
【分析】根据集合的交集与补集运算求解即可.
【详解】由可得，又因为，所以.
故选：A.
2．D
【分析】由向量垂直得，再利用向量夹角的坐标运算求解即可.
【详解】因为，
又，所以，得到，
所以，得到，
所以.
故选：D
3．C
【分析】利用同角三角函数的关系求解即可.
【详解】由得，
，
，即，
解得或，
，，.
故选：C.
4．C
【分析】