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山西省太原市部分学校2025届高三下学期5月预测考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则（???）
A． B． C． D．
2．已知，则（???）
A．1 B． C．2 D．
3．双曲线的离心率为3，则（???）
A． B．2 C． D．3
4．已知向量，，且，则（???）
A． B． C．4 D．1
5．设函数在区间的最小值和最大值分别为和，则（???）
A．2 B． C． D．
6．已知函数，则（???）
A． B．5 C．9 D．10
7．袋子里有大小相同的3个红球和2个白球，每次从袋子里随机取出一个球，若取出的是红球则放回袋子，若取出的是白球则不放回袋子.记为取了次后白球恰好全部取出的概率，则（???）
A． B． C． D．
8．满足，.设，分别为，上的点，为的中点，将沿折起，使点到达点的位置，且平面.若四棱锥的所有顶点都在同一球面上，且球心恰好在直线上，则该球的表面积为（???）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（???）
A．是奇函数 B．
C．在区间单调递减 D．有且仅有2个零点
10．若，则（???）
A． B．
C． D．
11．已知抛物线：的焦点为，准线为，为上一点，且在第一象限，过作的垂线，垂足为，直线与在第一象限交于点，过作的垂线，垂足为，且，则（???）
A．为线段的中点 B．
C．是正三角形 D．直线与相切
三、填空题
12．记为等差数列的前项和.若，，则.
13．若函数在区间单调递增，则的取值范围是.
14．有15张扑克牌，牌面分别为1，2，…，10，J，Q，K，小王，大王.魔术师先按照牌面依次为1，2，…，10，J，Q，的顺序将这12张牌背面朝上摆成一叠（牌面为1的牌在最上面），然后魔术师请一名观众将牌面为的牌背面朝上随机插入已摆好的这叠牌（共12张）中的某个位置（不能把这张牌放在这叠牌的最上面或最下面），再把牌面为小王和大王的两张牌中的一张背面朝上放在这叠牌（共13张）的最上面，另一张背面朝上放在这叠牌（共13张）的最下面，之后继续由这名观众把这叠牌（共15张）按如下方式发牌：把最上面那张牌发到桌上，然后把下一张牌放到这叠牌（共14张）的最下面，之后再把最上面那张牌发到桌上，再把下一张牌放到这叠牌（共13张）的最下面，依此类推，直到这叠牌只剩下一张牌.这时，魔术师可以准确说出最后剩下的这张牌的牌面是.
四、解答题
15．记的内角，，的对边分别为，，.已知.
(1)求；
(2)若，，求的面积.
16．已知椭圆：的右焦点为，且过点.
(1)求的方程；
(2)设为上一动点，当取得最大值时，求直线被截得的弦长.
17．某款产品的尺寸误差（单位：）服从正态分布，若一件产品的尺寸误差的绝对值不小于，则认为该件产品不合格.
(1)任取一件产品，求这件产品不合格的概率；
(2)在计算二项分布的概率时，若重复性试验的次数很多且每次试验事件发生的概率很小，则可利用泊松分布代替二项分布进行近似计算.设随机变量服从二项分布，若，且，则，，其中.现对某一批产品抽取40件进行检测，若不合格产品超过3件，则认为这批产品不合格.估算这批产品不合格的概率（精确到0.01）.
附：若，则；.
18．如图，四棱柱的底面是正方形，为的中点.
(1)若平面平面，，，求二面角的正弦值；
(2)设为线段的中点，.
（i）证明：平面；
（ii）设四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，证明：.
19．已知函数和各有两个零点.
(1)求的取值范围；
(2)若一个函数有且仅有两个零点，则称这两个零点的算术平均数为该函数的“完美点”.设和分别为和的“完美点”.
（i）比较与的大小；
（ii）证明：.
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《山西省太原市部分学校2025届高三下学期5月预测考试数学试题》参考答案
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
D
B
A
C
B
C
B
D
AC
ABD
题号
11
答案
BCD
1．D
【分析】由交集的运算，即可得到结果.
【详解】因为集合，，故.
故选：D
2．B
【分析】根据共轭复数的定义及复数的除法化简求解.
【详解】因为，故，.
故选：B
3．A
【分析】根据双曲线方程及离心