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重庆市2025年普通高等学校招生全国统一考试高三第三次联合诊断检测数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合，，则的元素个数为（????）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出集合即可.
【详解】集合，则，
所以集合C的元素个数为3个.
故选：C
2．已知为虚数单位，则（????）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据复数的除法运算法则求出，再求模即可.
【详解】因为，
所以.
故选：B.
3．已知直线，和平面，其中，则“”是“”的（????）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】由线面垂直判定定理及线面垂直的性质即可判断得出结论.
【详解】由，，则可能有，或者与相交，不能推出，
若，，则有，
所以“”是“”的必要不充分条件.
故选：C
4．过圆O：外的点作O的一条切线，切点为M，则（????）
A．2 B． C． D．4
【答案】B
【分析】根据切线的意义知，由勾股定理可求.
【详解】由题意有，即.
故选：B.
5．已知函数的一个极小值点为，则实数a的取值范围是（????）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】先根据绝对值的性质将函数写成分段函数的形式，再对其求导，结合极小值点的性质来确定实数的取值范围.
【详解】已知，根据绝对值的性质，
当时，，此时；
当时，，此时.
所以.
对分段函数求导，
当时，，对其求导，可得；
当时，，对其求导可得.
因为是函数的一个极小值点，所以在左侧附近，在右侧附近.
当时，，令，即，解得；
当时，，令，即，解得.
要使是极小值点，则需满足，解这个不等式，得.
所以实数的取值范围是.
故选：A.
6．已知函数在上恰有2个零点，则的最小正周期的最小值为（????）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由题意求出的范围，进一步可得周期的最小值，由此即可得解.
【详解】当，则，有两个零点，则，
所以，由知，最小正周期的最小值为.
故选：D.
7．设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（????）
A．关于对称 B．关于对称
C．关于对称 D．关于对称
【答案】B
【分析】由题意得，求导得，即可求解.
【详解】因为是奇函数，所以，即，
对其求导，则有，所以关于直线对称.
故选：B
【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断：
（1）对于，若，则函数周期为；
（2）对于，若，则函数关于直线对称；
（3）对于，若，则函数关于点对称.
8．已知长方体中，，，E为的中点.若长方体表面上的动点P满足，则动点P的轨迹围成面积为（????）
A．24 B．18 C． D．12
【答案】A
【分析】由，知点P的轨迹是平面ACE与长方体表面相交线围成的图形，利用面面平行的知识作出点P的轨迹，再根据长方体的结构特征与梯形的知识计算即得答案.
【详解】由知，点P的轨迹是平面ACE与长方体表面相交线围成的图形，
取的中点F，连接EF，则有，
又，所以EFCA为等腰梯形，
，由此可算出其高，
所以等腰梯形EFCA的面积.
故选：A.
二、多选题
9．我国1949年—2023年高中阶段毛入学率和高等教育毛入学率变化如图所示，可以判断（????）
A．2000年—2005年高中阶段毛入学率增量高于1995年—2000年高中阶段毛入学率增量
B．2015年—2020年高等教育毛入学率增加了14.4%
C．2015年—2020年高中阶段入学人数低于2010年—2015年高中阶段入学人数
D．2023年高等教育入学人数是2015年高等教育入学人数的1.5倍
【答案】AB
【分析】结合图象对选项逐一分析即可判断.
【详解】2000年—2005年高中阶段毛入学率增量为，
1995年—2000年高中阶段毛入学率增量为，故A正确；
2015年—2020年高等教育毛入学率增加了，故B正确，
由图中只能知道入学率，没有人数基数，故CD错误.
故选：.
10．已知，则（????）
A．，使得是增函数 B．，函数均存在极值点
C．，函数只有一个零点 D．，且，有
【答案】ACD
【分析】对于AB，对函数求导后，根据导数与函数的单调性及极值举例分析判断，对于C，对函数求导后，求出函数的单调区间，结合函数的图象可得结论，对于D，分和两种情况讨论函数的单调性的最值即可得结论.
【详解】对于AB，，当时，，所以为增函数，此时无极值，所以A正确，B错误；