专题11：曲线系
专题综述
专题综述
在解析几何中，有关求曲线方程的问题，大都采用待定系数法求解，而采取这种方法有时末知数较多，解方程组比较麻烦，有些还要分类讨论，因此，可以用曲线系的方法解答，这样省去了解联立方程组、求交点等麻烦，而直接设出适合条件的曲线系。然后根据题中的另外条件，确定曲线系方程里的参数应取的值，简化了计算。利用曲线系解题体现了参数变换的数学思想。
专题探究
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题型一：
题型一：直线系
我们把具有某种共同属性的一类直线的集合，称为直线系，它的方程称直线系方程。
一般的有以下几种常见的直线系方程：
过两直线交点的直线系
若点Px0,y0是两直线l1:A1x+B1y+
过定点直线系
过点Px0,y0的直线方程在斜率存在的情况下可设为y?y0
平行直线系
当直线l的斜率k存在时,方程y=kx+b表示斜率为k的平行直线系；
另外与已知直线l:Ax+By+C=0平行的直线系方程为Ax+By+λ=0(λ为参数)，注意因为当λ=C时,所设直线与已知直线l重合,如果仅仅是平行直线，则λ≠C.
垂直直线系
与已知直线l:Ax+By+C=0垂直的直线系方程为Bx?Ay+λ=0(λ为参数).
例1经过两条直线2x+y?3=0和x?y=0的交点，且平行于直线l1:4x?2y?7=0的直线方程为__________；经过两条直线2x+y?3=0和
【思路点拨】
本题考查两直线的交点，两直线平行、垂直的应用.联立直线2x+y?3=0和x?y=0，求解得交点坐标，由两直线平行斜率相等设与直线l1:
1,1得m的值，即可得到直线方程；由两直线垂直斜率之积为?1，设垂直于直线l2:3x?2y+4=0的直线方程为2x+y+n=0，代入点
【规范解析】
由2x+y?3=0x?y=0得x=1y=1，即直线2x+y?3=0和
设与直线l1:4x?2y?7=0平行的直线方程为4x?2y+m=0，
代入点1,1得4
与直线l1:4x?2y?7=0平行的直线方程为4x?2y?2=0，即2x?y?1=0；
设垂直于直线l
代入点1,1，得2+3+n=0，即n=?5，
所以垂直于直线l2:3x?2y+4=0的直线方程为2x+3y?5=0，
故答案为
例2设直线系M:xcosθ+(y?2)
??①M中所有直线均经过一个定点；
??②存在定点P不在M中的任一条直线上；
??③对于任意整数n(n≥3)，存在正n边形，其所有边均在M中的直线上；
??④M中的直线所能围成的正三角形面积都相等．
其中真命题的代号是??????????(写出所有真命题的序号)．
【思路点拨】
本题考查直线系方程的应用，要明确直线系M中直线的性质，依据直线系M表示圆x2+y?2
【规范解析】
因为点0,2到直线系M:xcosθ+y?2sinθ=10≤θ≤2π中每条直线的距离d=1cos2θ+sin2
所以M中所有直线均经过一个定点不可能，故①不正确;
②.存在定点P不在M中的任一条直线上，观察知点P0,2符合条件，故②正确;
③.对于任意整数nn≥3，存在正n边形，其所有边均在
由于圆的所有外切正多边形的边都是圆的切线，故③正确;
④.如下图，M中的直线所能围成的正三角形有两类，
一类如△ABE，一类是△BCD，显然这两类三角形的面积不相等，故④不正确．
故答案为②③．
练1已知定点P(?2,0)和直线l:(1+3λ)x+(1+2λ)y=2+5λ(λ∈R)，则点P到直线l的距离的最大值为(????)
A.23 B.10 C.14 D.
【思路点拨】
本题考查了直线系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力．直线化为
x+y?2+λ(3x+2y?5)=0，令x+y?2=03x+2y?5=0，可得直线l经过定点Q(1,1)，可得点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|
【规范解析】
直线l：(1+3λ)x+(1+2λ)y?(2+5λ)=0，化为：x+y?2+λ(3x+2y?5)=0，
令x+y?2=03x+2y?5=0，解得x=y=1．
因此直线l经过定点Q(1,1)，
∴点P到直线l的距离d的最大值为|PQ|=(?2?1)2+(0?1)
题型二：圆系
题型二：圆系
我们把具有某种共同属性的圆的集合,称为圆系.常见的圆系方程有如下几种：
(1)以a,b为圆心的同心圆系方程为:x?a2
与圆x2+
(2)过直线Ax+By+C=0与圆x2
x
(3)过两圆C1
圆系方程为：x
(λ≠?1,此圆系不含C2
特别地,当λ=?1时,上述方程为根轴方程.即两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程.
注：为了避免利用上述圆系方程时讨论圆C2,可等价转化为过圆C1
例3在平面直角坐标系xOy中，已知动圆C：(x?2m?1)2+(y?m?1)2=4m