即幅角原理的表达式为：
N=P-Z
其中N为，曲线按逆时针绕原点的圈数，P为T,内包含的F(s)的极点数，Z为r,内包含的F(s)的零点数。
N=1-3=-2
381
S平面
O
F平面
Re
N=1-0=1
淼N=0-1=-1
382
4.4.2奈氏稳定判据
·利用柯西复角原理判断稳定的思路：
-使封闭曲线与频率特性相联系
-使F(s)与系统闭环传递函数相联系
-封闭曲线域为右半平面(或左半平面)
383
D形围线和Nyquist图：
沿虚轴顺时针包围右半平面的闭曲线称为D形围线。
F平面
Im
工Re
S平面
D形围线
O
jw
Jo
半径无限大Nyquist图
384
十
开环传递函数
闭环传递函数
Dc(s)闭环特征多项式；D(s)开环特征多项式
闭环传递函数分母(辅助函数)
G(s)
H(s)
385
Dc(s)闭环特征多项式D?(S)开环特征多项式
如果辅助函数F(s)的零点都具有负的实部，即都位于S
平面左半部，系统就是稳定的，否则系统便不稳定。
F(s)三个特点：
1.零、极点分别为闭、开环特征根；
2.零、极点个数相等(分子分母阶数相同);
对于稳定的最小相角系统，@从0→○时F(s)应不包围原点。
3.与G(s)H(s)相差为1。
闭环传递函数分母(辅助函数)
386
·已知F(s)=1+G?(s),s平面上的D形围线在F平面上映射的有向闭曲线称为在F平面的奈奎斯特图。
F(s)平面上的原点即G?(s)平面上的(一1,j0)点
387
P:在右半平面开环特征根数；
Z:在右半平面闭环特征根数；
N:在[GO]平面，@从-∞→,幅相曲线绕(-1,jO)点逆时针转过的圈数。
■根据柯西复角原理，对于复变函数F(s)=1+G?(s),当s平面上
顺时针沿D形围线连续变化一周时，则在F平面上和G?(s)平面上的奈奎斯特图逆时针包围原点和(-1,j0)点N次。
Dc(s)=0的根，系统特征方程的极点，闭环极点
注意：顺时针转N0;逆时针转N0。
388
应用奈氏稳定判据判别系统稳定性，需要绘制或者由实验得到奈氏曲线，并确定奈氏曲线绕GO平面的(-1,j0)点的圈数N,在右半S平面的开环极点数P以及在右半S平面的闭环极点数Z=P-N。
1)确定P:开环传递函数在右半S平面
的极点数P是容易看出的。对于最小相位系统，P=0。
389
次，定义为1次负穿越；
反之，奈氏曲线从G?
的上半部穿过负实轴的
(-1,-∞)段，到平面G?
的下半部1次，定义为1次
正穿越，
如图4.7所示。
2)确定N的方法：为了确定N,将奈氏曲线从G?平面的下半部穿过负实轴的(-1,-∞)段，到G?平面的上半部1
[G0]
负穿越
-1
0
正穿越
图4.7正，负穿越
390
若奈氏曲线正穿越N次，负穿越N_次，则奈氏曲线绕G?平面的(-1,j0)点的圈数为：
N=N+-N_
3)奈氏曲线的画法：因为奈氏曲线的精确形状，对于N值的确定并不重要，所以，只要根据一些特征画出奈氏曲线的大致形状即可。事实上，要在的范围内精确画出奈氏曲线也是不可能的，因为通常有无穷大，显然不可能画无穷大的坐标图。
391
·开环频率特性G?(jw)和奈奎斯特图
开环传递函数G(s),令s=jw,即开环频率特性G(jw)
当w由0→∞G?(jの)幅频特性
(负频部分无物理意义)∠G?(jw)相频特性
D形围线(分为3段)在G?(s)
平面上的映射就是系统在G?(s)平面上的奈奎斯特图，也就是w从-∞到+∞时系统的开环幅相频率特性曲线。
jw
碛
2
S平面
D形围线
3
S
一磋半径无限大
392
O
一
·注意域的映射关系
IG?平面
-1Re
ImG平面
个
-1Re
个
m
N=-2
N=0
jw
jo
S平面
393
Nyquist稳定判据(在G(s)平面上):
必须使得Z=0(Z为不稳定闭环特征根的个数)。
1.若系统开环稳定，则闭环系统稳定的条件是Nyquist图不包
围(-1,j0)点。
(N=P—Z=0—0=0)
2.闭环系统稳定的充要条件是N=P
(N=P-Z=P