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《线性代数》期终考试试卷

B卷共6页

课程代码： 考试形式：闭卷

（本试卷答卷时间为120分钟，答案必须写在试卷上，做在草稿纸上无效）

专业 学号 姓名 成绩

题号

一

二

三

四

五

六

七

八

九

总分

得分

ｎ阶行列式计算：（共20分，每小题10分）

（1）

（2）

其中。

二、假设A为n阶方阵，是n阶对角阵，其中两两不相等，且，证明:A必为对角阵。(10分)

设是复数域上三维线性空间的一组基，是的一个线性变换，它在这组基下的矩阵为，即。求：的所有的特征值与特征向量。(12分)

四、讨论参数的值，解下列方程组。何时无解？何时有唯一的解？并请写出解；何时有无穷多的解？并请写出解的一般形式。

（18分）

五、设分别为实数域上m阶、n阶方阵，试证明：

如果都相似于对角矩阵，则也相似于一个对角矩阵。

设相似于一个对角矩阵，即存在一个可逆矩阵，使得

。

对进行分块，令，其中是阶矩阵，是阶矩阵。试证明：的每一列都是的特征向量，的每一列是的特征向量，并且。

3．相似于一个对角矩阵当且仅当都相似于对角阵。(共20分)

六、设R为实数集，为实数域上全体n维向量的集合。设本题中的向量均在中。证明（共20分）：

（1）设向量组可以由向量组线性表示，且，则向量组是线性相关的。（10分）

（2）设向量组可由向量组线性表示，即存在实数域上的的矩阵，使得，并设是线性无关向量组，则向量组的秩等于矩阵A的秩。（10分）